微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \tan (x)$ , $y (0) = 1$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \tan (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \tan (x) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \tan (x) d x$

ステップ 2.3

$\tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) |)$ です。

$y + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = \ln (| \sec (x) |) + C$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \ln (| \sec (x) |) + C$ の $0$ を $x$ に、 $1$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$1 = \ln (| \sec (0) |) + C$

ステップ 4

$C$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\ln (| \sec (0) |) + C = 1$ として書き換えます。

$\ln (| \sec (0) |) + C = 1$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\ln (| \sec (0) |) + C$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1.1

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\ln (| 1 |) + C = 1$

ステップ 4.2.1.1.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\ln (1) + C = 1$

ステップ 4.2.1.1.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$0 + C = 1$

ステップ 4.2.1.2

$0$ と $C$ をたし算します。

$C = 1$

ステップ 5

$1$ を $y = \ln (| \sec (x) |) + C$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$1$ を $C$ に代入します。

$y = \ln (| \sec (x) |) + 1$

微分積分 例

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