微分積分例

$\frac{y - 1}{- y - 1} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$\frac{y - 1}{- y - 1} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y - 1}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$y - 1$ を $- y - 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$1$

$y$

$1$

ステップ 2.2.1.2

被除数 $y$ の最高次項を除数 $- y$ の最高次項で割ります。

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$

ステップ 2.2.1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				+	$y$	+	$1$

ステップ 2.2.1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y + 1$ の符号をすべて変更します。

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				-	$y$	-	$1$

ステップ 2.2.1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				-	$y$	-	$1$
						-	$2$

ステップ 2.2.1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int - 1 - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - 1 d y + \int - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.3

定数の法則を当てはめます。

$- y + C_{1} + \int - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.4

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- y + C_{1} - \int \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.5

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- y + C_{1} - (2 \int \frac{1}{- y - 1} d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- y + C_{1} - 2 \int \frac{1}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.7

$u = - y - 1$ とします。次に $d u = - d y$ すると、 $- d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.1

$u = - y - 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 2.2.7.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 2.2.7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- y + C_{1} - 2 \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$- y + C_{1} - 2 \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- y + C_{1} - 2 (- \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.10

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- y + C_{1} + 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.11

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- y + C_{1} + 2 (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.12

簡約します。

$- y + 2 \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.13

$u$ のすべての発生を $- y - 1$ で置き換えます。

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C_{4}$ です。

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \arctan (x) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) = \arctan (x) + C$

微分積分 例

微分積分例