微分積分例

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

ステップ 1

問題を数式で書きます。

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

ステップ 2

方程式の両辺から $(y^{2} + 1) d x$ を引きます。

$x^{2} y^{2} d y = - (y^{2} + 1) d x$

ステップ 3

両辺に $\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

$x^{2}$ を $x^{2} y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

ステップ 4.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

ステップ 4.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

ステップ 4.2

$\frac{1}{y^{2} + 1}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

ステップ 4.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

ステップ 4.4

$y^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.1

$- \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

ステップ 4.4.2

$y^{2} + 1$ を $x^{2} (y^{2} + 1)$ で因数分解します。

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

ステップ 4.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

ステップ 4.4.4

式を書き換えます。

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5

両辺を積分します。

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ステップ 5.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5.2

左辺を積分します。

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ステップ 5.2.1

$y^{2}$ を $y^{2} + 1$ で割ります。

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ステップ 5.2.1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y^{2}$

$0 y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

ステップ 5.2.1.2

被除数 $y^{2}$ の最高次項を除数 $y^{2}$ の最高次項で割ります。

							$1$
	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

ステップ 5.2.1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					+	$y^{2}$	+	$0$	+	$1$

ステップ 5.2.1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y^{2} + 0 + 1$ の符号をすべて変更します。

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$

ステップ 5.2.1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

ステップ 5.2.1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 1 - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d y + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5.2.3

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5.2.4

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5.2.5

式を簡約します。

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ステップ 5.2.5.1

$y^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5.2.5.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5.2.6

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\arctan (y) + C_{2}$ です。

$y + C_{1} - (\arctan (y) + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5.2.7

簡約します。

$y - \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5.3

右辺を積分します。

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ステップ 5.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5.3.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.3.2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 5.3.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 5.3.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{- 2} d x$

ステップ 5.3.3

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$y - \arctan (y) + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4})$

ステップ 5.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

$- (- x^{- 1} + C_{4})$ を $- - \frac{1}{x} + C_{4}$ に書き換えます。

$y - \arctan (y) + C_{3} = - - \frac{1}{x} + C_{4}$

ステップ 5.3.4.2

簡約します。

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ステップ 5.3.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y - \arctan (y) + C_{3} = 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

ステップ 5.3.4.2.2

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$y - \arctan (y) + C_{3} = \frac{1}{x} + C_{4}$

ステップ 5.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y - \arctan (y) = \frac{1}{x} + K$

微分積分 例

微分積分例