微分積分例

$9 = \frac{9 d x (x - 2 x y)}{d y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺を入れ替え、左辺に $\frac{d x}{d y}$ を得ます。

$9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y} = 9$

ステップ 1.2

$9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y} = 9$ の各項を $9 (x - 2 x y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.1

$9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y} = 9$ の各項を $9 (x - 2 x y)$ で割ります。

$\frac{9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{9 (x - 2 x y)} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

ステップ 1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{9 (x - 2 x y)} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

ステップ 1.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{(x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{x - 2 x y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

ステップ 1.2.2.2

$x - 2 x y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{x - 2 x y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

ステップ 1.2.2.2.2

$\frac{d x}{d y}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d x}{d y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

ステップ 1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d x}{d y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

ステップ 1.2.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x - 2 x y}$

ステップ 1.2.3.2

$x$ を $x - 2 x y$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{1} - 2 x y}$

ステップ 1.2.3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x \cdot 1 - 2 x y}$

ステップ 1.2.3.2.3

$x$ を $- 2 x y$ で因数分解します。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x \cdot 1 + x (- 2 y)}$

ステップ 1.2.3.2.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (- 2 y)$ で因数分解します。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x (1 - 2 y)}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - 2 y}$

ステップ 1.4

両辺に $x$ を掛けます。

$x \frac{d x}{d y} = x (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - 2 y})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{1 - 2 y}$ をかけます。

$x \frac{d x}{d y} = x \frac{1}{x (1 - 2 y)}$

ステップ 1.5.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.1

共通因数を約分します。

$x \frac{d x}{d y} = x \frac{1}{x (1 - 2 y)}$

ステップ 1.5.2.2

式を書き換えます。

$x \frac{d x}{d y} = \frac{1}{1 - 2 y}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$x d x = \frac{1}{1 - 2 y} d y$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int x d x = \int \frac{1}{1 - 2 y} d y$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 y} d y$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = 1 - 2 y$ とします。次に $d u = - 2 d y$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = 1 - 2 y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$1 - 2 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [1 - 2 y]$

ステップ 2.3.1.1.2

微分します。

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ステップ 2.3.1.1.2.1

総和則では、 $1 - 2 y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ です。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

ステップ 2.3.1.1.2.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

ステップ 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.3.1

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 y$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.3.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2 \cdot 1$

ステップ 2.3.1.1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$0 - 2$

ステップ 2.3.1.1.4

$0$ から $2$ を引きます。

$- 2$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 2.3.2.2

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 2.3.2.3

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.7

$u$ のすべての発生を $1 - 2 y$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} x^{2} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\ln (| 1 - 2 y |)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x^{2} = 2 (- \frac{\ln (| 1 - 2 y |)}{2} + C)$

ステップ 3.2.2.1.2

$C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x^{2} = 2 (- \frac{\ln (| 1 - 2 y |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 3.2.2.1.3

項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$C$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x^{2} = 2 (- \frac{\ln (| 1 - 2 y |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

ステップ 3.2.2.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$x^{2} = 2 \frac{- \ln (| 1 - 2 y |) + C \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.2.1.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.3.1

共通因数を約分します。

$x^{2} = 2 \frac{- \ln (| 1 - 2 y |) + C \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.2.1.3.3.2

式を書き換えます。

$x^{2} = - \ln (| 1 - 2 y |) + C \cdot 2$

ステップ 3.2.2.1.4

$2$ を $C$ の左に移動させます。

$x^{2} = - \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + C}$

微分積分 例

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