微分積分例

$x e^{y} d y + (\frac{x^{2} + 1}{y}) d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{x^{2} + 1}{y} d x$ を引きます。

$x e^{y} d y = - \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{y}{x}$ を掛けます。

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $x e^{y}$ で因数分解します。

$\frac{y}{x} (x (e^{y})) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$y e^{y} d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y e^{y} d y = - \frac{y}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

ステップ 3.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{y}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y e^{y} d y = \frac{- y}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

ステップ 3.3.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

ステップ 3.3.3

共通因数を約分します。

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

ステップ 3.3.4

式を書き換えます。

$y e^{y} d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} + 1) d x$

ステップ 3.4

分数の前に負数を移動させます。

$y e^{y} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} + 1) d x$

ステップ 3.5

分配則を当てはめます。

$y e^{y} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

ステップ 3.6

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

$- \frac{1}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

ステップ 3.6.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

ステップ 3.6.3

共通因数を約分します。

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

ステップ 3.6.4

式を書き換えます。

$y e^{y} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

ステップ 3.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y e^{y} d y = (- x - \frac{1}{x}) d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int y e^{y} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$u = y$ と $d v = e^{y}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.2

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - x - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.3

簡約します。

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.4

項を並べ替えます。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - (\ln (| x |) + C_{3})$

ステップ 4.3.6

簡約します。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$e^{y} y - e^{y} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$

微分積分 例

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