微分積分例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$

ステップ 1

すべての解が $y = e^{r x}$ の形と仮定します。

ステップ 2

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$ の特性方程式を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

ステップ 2.3

微分方程式に代入します。

$r^{2} e^{r x} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

ステップ 2.4

$e^{r x}$ を因数分解します。

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ステップ 2.4.1

$e^{r x}$ を $r^{2} e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} r^{2} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

ステップ 2.4.2

$e^{r x}$ を $r e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} r - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

ステップ 2.4.3

$e^{r x}$ を $e^{r x} r^{2} + e^{r x} r$ で因数分解します。

$e^{r x} (r^{2} + r) - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

ステップ 2.4.4

$e^{r x}$ を $- 12 e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12 = 5 x + 8$

ステップ 2.4.5

$e^{r x}$ を $e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12$ で因数分解します。

$e^{r x} (r^{2} + r - 12) = 5 x + 8$

ステップ 2.5

指数関数はゼロにならないので、両辺を $e^{r x}$ で割ります。

$r^{2} + r - 12 = 5 x + 8$

ステップ 3

$r$ について解きます。

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ステップ 3.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

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ステップ 3.1.1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.1.1.1

方程式の両辺から $5 x$ を引きます。

$r^{2} + r - 12 - 5 x = 8$

ステップ 3.1.1.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$r^{2} + r - 12 - 5 x - 8 = 0$

ステップ 3.1.2

$- 12$ から $8$ を引きます。

$r^{2} + r - 5 x - 20 = 0$

ステップ 3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.3

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = - 5 x - 20$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $r$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 5 x - 20))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.3

分配則を当てはめます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.4

$- 5$ に $- 4$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.5

$- 4$ に $- 20$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.6

$1$ と $80$ をたし算します。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

ステップ 3.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.3

分配則を当てはめます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.4

$- 5$ に $- 4$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.5

$- 4$ に $- 20$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.6

$1$ と $80$ をたし算します。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

ステップ 3.5.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$r = \frac{- 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

ステップ 3.5.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

ステップ 3.5.5

$- 1$ を $\sqrt{20 x + 81}$ で因数分解します。

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{20 x + 81})}{2}$

ステップ 3.5.6

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{20 x + 81})$ で因数分解します。

$r = \frac{- 1 (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}$

ステップ 3.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

ステップ 3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.3

分配則を当てはめます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.4

$- 5$ に $- 4$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.5

$- 4$ に $- 20$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.6

$1$ と $80$ をたし算します。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

ステップ 3.6.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$r = \frac{- 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

ステップ 3.6.4

$- 1$ を $- 1 - \sqrt{20 x + 81}$ で因数分解します。

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ステップ 3.6.4.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

ステップ 3.6.4.2

$- 1$ を $- \sqrt{20 x + 81}$ で因数分解します。

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{20 x + 81})}{2}$

ステップ 3.6.4.3

$- 1$ を $- 1 (1) - (\sqrt{20 x + 81})$ で因数分解します。

$r = \frac{- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

ステップ 3.6.4.4

$- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})$ を $- (1 + \sqrt{20 x + 81})$ に書き換えます。

$r = \frac{- (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

ステップ 3.6.5

分数の前に負数を移動させます。

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

ステップ 3.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

ステップ 4

$r$ の値を2つ求めて、解を2つ構築します。

$y_{1} = e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

$y_{2} = e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

ステップ 5

重ね合わせの原理により、一般解は2次の同次線形微分方程式の2つの解の線形結合になります。

$y = c_{1} e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

ステップ 6

各項を簡約します。

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ステップ 6.1

$x$ と $\frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$ をまとめます。

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

ステップ 6.2

$x$ と $\frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$ をまとめます。

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{x (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}}$

微分積分 例

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