微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 3$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.4

簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$x^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 7 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.5

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.6

$x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.7

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

ステップ 2.3.8

簡約します。

$y + C_{1} = - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) - x + C_{5}$

ステップ 2.3.9

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C_{5}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$ の $1$ を $x$ に、 $3$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$3 = - 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C$

ステップ 4

$C$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$ として書き換えます。

$- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

ステップ 4.2

$- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

ステップ 4.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

ステップ 4.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \ln (1) + C = 3$

ステップ 4.2.1.4

$1$ の自然対数は $0$ です。

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \cdot 0 + C = 3$

ステップ 4.2.1.5

$5$ に $0$ をかけます。

$- 1 - \frac{7}{2} + 0 + C = 3$

ステップ 4.2.2

$- 1 - \frac{7}{2}$ と $0$ をたし算します。

$- 1 - \frac{7}{2} + C = 3$

ステップ 4.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{2} + C = 3$

ステップ 4.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{7}{2} + C = 3$

ステップ 4.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 \cdot 2 - 7}{2} + C = 3$

ステップ 4.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 - 7}{2} + C = 3$

ステップ 4.2.6.2

$- 2$ から $7$ を引きます。

$\frac{- 9}{2} + C = 3$

ステップ 4.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{9}{2} + C = 3$

ステップ 4.3

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $\frac{9}{2}$ を足します。

$C = 3 + \frac{9}{2}$

ステップ 4.3.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$C = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2}$

ステップ 4.3.3

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$C = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2}$

ステップ 4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$C = \frac{3 \cdot 2 + 9}{2}$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$3$ に $2$ をかけます。

$C = \frac{6 + 9}{2}$

ステップ 4.3.5.2

$6$ と $9$ をたし算します。

$C = \frac{15}{2}$

ステップ 5

$\frac{15}{2}$ を $y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{15}{2}$ を $C$ に代入します。

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + \frac{15}{2}$

ステップ 5.2

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln (| x |)$ を簡約します。

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + \ln ({| x |}^{5}) + \frac{15}{2}$

微分積分 例

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