微分積分例

$\frac{d r}{d θ} = π \sin (π θ)$ , $r (1) = 2$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d r = π \sin (π θ) d θ$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d r = \int π \sin (π θ) d θ$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$r + C_{1} = \int π \sin (π θ) d θ$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$π$ は $θ$ に対して定数なので、 $π$ を積分の外に移動させます。

$r + C_{1} = π \int \sin (π θ) d θ$

ステップ 2.3.2

$u = π θ$ とします。次に $d u = π d θ$ すると、 $\frac{1}{π} d u = d θ$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = π θ$ とします。 $\frac{d u}{d θ}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$π θ$ を微分します。

$\frac{d}{d θ} [π θ]$

ステップ 2.3.2.1.2

$π$ は $θ$ に対して定数なので、 $θ$ に対する $π θ$ の微分係数は $π \frac{d}{d θ} [θ]$ です。

$π \frac{d}{d θ} [θ]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$π \cdot 1$

ステップ 2.3.2.1.4

$π$ に $1$ をかけます。

$π$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$r + C_{1} = π \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

ステップ 2.3.3

$\sin (u)$ と $\frac{1}{π}$ をまとめます。

$r + C_{1} = π \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{π}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{π}$ を積分の外に移動させます。

$r + C_{1} = π (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{π}$ と $π$ をまとめます。

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

ステップ 2.3.5.2

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.1

共通因数を約分します。

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

ステップ 2.3.5.2.2

式を書き換えます。

$r + C_{1} = 1 \int \sin (u) d u$

ステップ 2.3.5.3

$\int \sin (u) d u$ に $1$ をかけます。

$r + C_{1} = \int \sin (u) d u$

ステップ 2.3.6

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$r + C_{1} = - \cos (u) + C_{2}$

ステップ 2.3.7

$u$ のすべての発生を $π θ$ で置き換えます。

$r + C_{1} = - \cos (π θ) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$r = - \cos (π θ) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $r = - \cos (π θ) + K$ の $1$ を $θ$ に、 $2$ を $r$ に代入し $K$ の値を求めます。

$2 = - \cos (π \cdot 1) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $- \cos (π \cdot 1) + K = 2$ として書き換えます。

$- \cos (π \cdot 1) + K = 2$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$π$ に $1$ をかけます。

$- \cos (π) + K = 2$

ステップ 4.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- - \cos (0) + K = 2$

ステップ 4.2.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- (- 1 \cdot 1) + K = 2$

ステップ 4.2.1.4

$- (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- - 1 + K = 2$

ステップ 4.2.1.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 + K = 2$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$K = 2 - 1$

ステップ 4.3.2

$2$ から $1$ を引きます。

$K = 1$

ステップ 5

$1$ を $r = - \cos (π θ) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$1$ を $K$ に代入します。

$r = - \cos (π θ) + 1$

微分積分 例

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