微分積分例

$t \frac{d y}{d t} - 5 t = - y$

ステップ 1

方程式を $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $y$ を足します。

$t \frac{d y}{d t} - 5 t + y = 0$

ステップ 1.2

方程式の両辺に $5 t$ を足します。

$t \frac{d y}{d t} + y = 5 t$

ステップ 2

方程式の左辺は項 $t y$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 2.1

$f (t) = t$ および $g (t) = y$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$t \frac{d}{d t} [y] + y \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d t} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$t y' + y \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t y' + y \cdot 1$

ステップ 2.4

$\frac{d y}{d t}$ を $y'$ に代入します。

$t \frac{d y}{d t} + y \cdot 1$

ステップ 2.5

$y$ と $1$ を並べ替えます。

$t \frac{d y}{d t} + 1 \cdot y$

ステップ 2.6

$y$ に $1$ をかけます。

$t \frac{d y}{d t} + y$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [t y] = 5 t$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [t y] d t = \int 5 t d t$

ステップ 5

左辺を積分します。

$t y = \int 5 t d t$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$t y = 5 \int t d t$

ステップ 6.2

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$t y = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

ステップ 6.3

答えを簡約します。

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ステップ 6.3.1

$5 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ を $5 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ に書き換えます。

$t y = 5 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$

ステップ 6.3.2

$5$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$

ステップ 7

$t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$ の各項を $t$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$ の各項を $t$ で割ります。

$\frac{t y}{t} = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{t y}{t} = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$t^{2}$ と $t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.1

$t$ を $\frac{5}{2} t^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t} + \frac{C}{t}$

ステップ 7.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t^{1}} + \frac{C}{t}$

ステップ 7.3.1.1.2.2

$t$ を $t^{1}$ で因数分解します。

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

ステップ 7.3.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

ステップ 7.3.1.1.2.4

式を書き換えます。

$y = \frac{\frac{5}{2} t}{1} + \frac{C}{t}$

ステップ 7.3.1.1.2.5

$\frac{5}{2} t$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{5}{2} t + \frac{C}{t}$

ステップ 7.3.1.2

$\frac{5}{2}$ と $t$ をまとめます。

$y = \frac{5 t}{2} + \frac{C}{t}$

微分積分 例

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