微分積分例

$(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x} = x y$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x} = x y$ の各項を $x^{2} + y^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x} = x y$ の各項を $x^{2} + y^{2}$ で割ります。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x^{2} + y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 1.2

$\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ に $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.3

$\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ に $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.4

分配則を当てはめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.5

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.6

$y^{2}$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.7

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.7.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x \cdot x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.7.3

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x \cdot x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.7.4

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.8

$y$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.9

商の法則 $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ の累乗を利用します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}}$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V^{2}}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$

ステップ 6.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} - V}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.2

$- V$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}$ を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} - V \cdot \frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.3.3.1

$- V$ と $\frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}$ をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} + \frac{- V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.3.4.1

$V$ を $V - V (1 + V^{2})$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.3.4.1.1

$V$ を $1$ 乗します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.4.1.2

$V$ を $V^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.4.1.3

$V$ を $- V (1 + V^{2})$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 + V (- (1 + V^{2}))}{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.4.1.4

$V$ を $V \cdot 1 + V (- (1 + V^{2}))$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - (1 + V^{2}))}{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 \cdot 1 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.4.4

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.4.5

$0$ から $V^{2}$ を引きます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1 V^{2}}{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.4.6

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.3.4.6.1

負をくくり出します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.4.6.2

指数を足して $V$ に $V^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.3.4.6.2.1

$V$ に $V^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.3.4.6.2.1.1

$V$ を $1$ 乗します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{1} V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.4.6.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{1 + 2}}{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.4.6.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{3}}{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{3}}{1 + V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.7

$\frac{1}{x}$ に $\frac{V^{3}}{1 + V^{2}}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{x (1 + V^{2})}$

ステップ 6.1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.3

両辺に $\frac{1 + V^{2}}{V^{3}}$ を掛けます。

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} (- \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} (\frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4.2

$\frac{V^{3}}{1 + V^{2}}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.3

$1 + V^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.3.1

$- \frac{1 + V^{2}}{V^{3}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V^{2})}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.3.2

$1 + V^{2}$ を $- (1 + V^{2})$ で因数分解します。

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.3.3

$1 + V^{2}$ を $(1 + V^{2}) x$ で因数分解します。

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) (x)}$

ステップ 6.1.4.3.4

共通因数を約分します。

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

ステップ 6.1.4.3.5

式を書き換えます。

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{x}$

ステップ 6.1.4.4

$V^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{x}$

ステップ 6.1.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} d V = - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$V^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (1 + V^{2}) {(V^{3})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.2

${(V^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (1 + V^{2}) V^{3 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int (1 + V^{2}) V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

$(1 + V^{2}) V^{- 3}$ を掛けます。

$\int 1 V^{- 3} + V^{2} V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

$V^{- 3}$ に $1$ をかけます。

$\int V^{- 3} + V^{2} V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.2

指数を足して $V^{2}$ に $V^{- 3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int V^{- 3} + V^{2 - 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.2.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\int V^{- 3} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int V^{- 3} d V + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5

べき乗則では、 $V^{- 3}$ の $V$ に関する積分は $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ です。

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6

$V^{- 1}$ の $V$ に関する積分は $\ln (| V |)$ です。

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} + \ln (| V |) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.7.1

簡約します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.7.2.1

$\frac{1}{V^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.7.2.2

$2$ を $V^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

ステップ 6.2.3.3

簡約します。

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

ステップ 8

$y$ について $- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

ステップ 8.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

ステップ 8.3

$| \frac{y}{x} | | x |$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

ステップ 8.3.2

$\frac{y}{x}$ と $x$ をまとめます。

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

ステップ 8.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

共通因数を約分します。

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

ステップ 8.4.2

$y$ を $1$ で割ります。

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

ステップ 8.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

積の法則を $\frac{y}{x}$ に当てはめます。

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 (\frac{y^{2}}{x^{2}})} + C$

ステップ 8.5.2

$2$ と $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ をまとめます。

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{2 y^{2}}{x^{2}}} + C$

ステップ 8.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x^{2}}{2 y^{2}}) + C$

ステップ 8.5.4

$\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\ln (| y |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例