微分積分例

$\frac{d y}{d t} = k \sqrt[3]{t}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = k \sqrt[3]{t} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int k \sqrt[3]{t} d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int k \sqrt[3]{t} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$k$ は $t$ に対して定数なので、 $k$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = k \int \sqrt[3]{t} d t$

ステップ 2.3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{t}$ を $t^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = k \int t^{\frac{1}{3}} d t$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $t^{\frac{1}{3}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}$ です。

$y + C_{1} = k (\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$k (\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}} + C_{2})$ を $k \frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = k \frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2

簡約します。

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ステップ 2.3.4.2.1

$k$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{k \cdot 3}{4} t^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2

$3$ を $k$ の左に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot k}{4} t^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.3

$\frac{3 k}{4}$ と $t^{\frac{4}{3}}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{3 k t^{\frac{4}{3}}}{4} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{3}{4} k t^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.5

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = \frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}} k + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}} k + K$

微分積分 例

微分積分例