微分積分例

$\frac{d y}{d t} = \frac{t e^{t}}{y \sqrt{5 + y^{2}}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y \sqrt{5 + y^{2}}$ を掛けます。

$y \sqrt{5 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{5 + y^{2}} \frac{t e^{t}}{y \sqrt{5 + y^{2}}}$

ステップ 1.2

$y \sqrt{5 + y^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$y \sqrt{5 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{5 + y^{2}} \frac{t e^{t}}{y \sqrt{5 + y^{2}}}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$y \sqrt{5 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = t e^{t}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y \sqrt{5 + y^{2}} d y = t e^{t} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y \sqrt{5 + y^{2}} d y = \int t e^{t} d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = 5 + y^{2}$ とします。次に $d u = 2 y d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u = y d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = 5 + y^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$5 + y^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [5 + y^{2}]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $5 + y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.2.1.1.3

$5$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.2.1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 y$

ステップ 2.2.1.1.5

$0$ と $2 y$ をたし算します。

$2 y$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u = \int t e^{t} d t$

ステップ 2.2.2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u = \int t e^{t} d t$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u = \int t e^{t} d t$

ステップ 2.2.4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u = \int t e^{t} d t$

ステップ 2.2.5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}) = \int t e^{t} d t$

ステップ 2.2.6

簡約します。

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ステップ 2.2.6.1

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1})$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

ステップ 2.2.6.2

簡約します。

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ステップ 2.2.6.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

ステップ 2.2.6.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

ステップ 2.2.6.2.3

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.6.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

ステップ 2.2.6.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.6.2.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

ステップ 2.2.6.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

ステップ 2.2.6.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

ステップ 2.2.7

$u$ のすべての発生を $5 + y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(5 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = t$ と $d v = e^{t}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{3} {(5 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

ステップ 2.3.2

$e^{t}$ の $t$ に関する積分は $e^{t}$ です。

$\frac{1}{3} {(5 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

簡約します。

$\frac{1}{3} {(5 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

ステップ 2.3.4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} {(5 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} {(5 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} = e^{t} t - e^{t} + K$

微分積分 例

微分積分例