微分積分例

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{x^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

ステップ 1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 - 2 y}$

ステップ 1.2.2

$2$ を $2 - 2 y$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) - 2 y}$

ステップ 1.2.2.2

$2$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) + 2 (- y)}$

ステップ 1.2.2.3

$2$ を $2 (1) + 2 (- y)$ で因数分解します。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1 - y)}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

ステップ 2.2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C_{1}$ です。

$\arctan (x) + C_{1} = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - y} d y$

ステップ 2.3.2

$u = 1 - y$ とします。次に $d u = - d y$ すると、 $- d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 1 - y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 2.3.2.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u} d u$

ステップ 2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

簡約します。

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| u |)$ をまとめます。

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.7

$u$ のすべての発生を $1 - y$ で置き換えます。

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

項を並べ替えます。

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\arctan (x) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $x$ を取り出します。

$x = \tan (- \frac{1}{2} \cdot \ln (| 1 - y |) + C)$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1

$\ln (| 1 - y |)$ と $\frac{1}{2}$ を並べ替えます。

$x = \tan (- (\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)) + C)$

ステップ 3.2.1.2

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ を簡約します。

$x = \tan (- \ln ({| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

微分積分 例

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