微分積分例

$x \frac{d y}{d x} - y - 5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式を $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

方程式の両辺に $5 x^{4}$ を足します。

$x \frac{d y}{d x} - y - 3 x^{2} + 2 x = 5 x^{4}$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺に $3 x^{2}$ を足します。

$x \frac{d y}{d x} - y + 2 x = 5 x^{4} + 3 x^{2}$

ステップ 1.1.3

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$x \frac{d y}{d x} - y = 5 x^{4} + 3 x^{2} - 2 x$

ステップ 1.2

$x \frac{d y}{d x} - y = 5 x^{4} + 3 x^{2} - 2 x$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{5 x^{4}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

ステップ 1.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{5 x^{4}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

ステップ 1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{5 x^{4}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

ステップ 1.4

$x^{4}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x$ を $5 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (5 x^{3})}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (5 x^{3})}{x^{1}} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

ステップ 1.4.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (5 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

ステップ 1.4.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (5 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

ステップ 1.4.2.4

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{5 x^{3}}{1} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

ステップ 1.4.2.5

$5 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

ステップ 1.5

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{x (3 x)}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

ステップ 1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{x (3 x)}{x^{1}} + \frac{- 2 x}{x}$

ステップ 1.5.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x}{x}$

ステップ 1.5.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x}{x}$

ステップ 1.5.2.4

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{3 x}{1} + \frac{- 2 x}{x}$

ステップ 1.5.2.5

$3 x$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + 3 x + \frac{- 2 x}{x}$

ステップ 1.6

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + 3 x + \frac{- 2 x}{x}$

ステップ 1.6.2

$- 2$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + 3 x - 2$

ステップ 1.7

$y$ を $\frac{- y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = 5 x^{3} + 3 x - 2$

ステップ 1.8

$y$ と $\frac{- 1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = 5 x^{3} + 3 x - 2$

ステップ 2

$P (x) = \frac{- 1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{- 1}{x}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.4

簡約します。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 1}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

ステップ 3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

ステップ 3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

ステップ 3.2.4

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

ステップ 3.2.5

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.5.1

$\frac{y}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

ステップ 3.2.5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

ステップ 3.2.5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

ステップ 3.2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

ステップ 3.2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

ステップ 3.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 \frac{1}{x} x^{3} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

ステップ 3.3.2

$5$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{5}{x} x^{3} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

ステップ 3.3.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{5}{x} (x \cdot x^{2}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

ステップ 3.3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{5}{x} (x \cdot x^{2}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

ステップ 3.3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

ステップ 3.3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + 3 \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

ステップ 3.3.5

$3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + \frac{3}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

ステップ 3.3.6

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + \frac{3}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

ステップ 3.3.6.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + 3 + \frac{1}{x} \cdot - 2$

ステップ 3.3.7

$\frac{1}{x}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + 3 + \frac{- 2}{x}$

ステップ 3.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + 3 - \frac{2}{x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = 5 x^{2} + 3 - \frac{2}{x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int 5 x^{2} + 3 - \frac{2}{x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x} y = \int 5 x^{2} + 3 - \frac{2}{x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{x} y = \int 5 x^{2} d x + \int 3 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 7.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x} y = 5 \int x^{2} d x + \int 3 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 7.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 7.4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 x + C + \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 7.5

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C + \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 7.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C - \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 7.7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 7.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C - 2 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7.9

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C - 2 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 7.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.10.1

簡約します。

$\frac{1}{x} y = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

ステップ 7.10.2

項を並べ替えます。

$\frac{1}{x} y = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x} = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

ステップ 8.2

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\frac{5}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{y}{x} = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

ステップ 8.2.2

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\frac{y}{x} = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln ({| x |}^{2}) + C$

ステップ 8.2.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\frac{y}{x} = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C$

ステップ 8.3

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = (\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$

ステップ 8.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = (\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$

ステップ 8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$

ステップ 8.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$(\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{5 x^{3}}{3} x + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

ステップ 8.4.2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1

$\frac{5 x^{3}}{3} x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1.1

$\frac{5 x^{3}}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{5 x^{3} x}{3} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

ステップ 8.4.2.1.2.1.2

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{5 (x^{1} x^{3})}{3} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

ステップ 8.4.2.1.2.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{5 x^{1 + 3}}{3} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

ステップ 8.4.2.1.2.1.4

$1$ と $3$ をたし算します。

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

ステップ 8.4.2.1.2.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.2.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 (x \cdot x) - \ln (x^{2}) x + C x$

ステップ 8.4.2.1.2.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 x^{2} - \ln (x^{2}) x + C x$

ステップ 8.4.2.1.3

$\frac{5 x^{4}}{3} + 3 x^{2} - \ln (x^{2}) x + C x$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 x^{2} - x \ln (x^{2}) + C x$

ステップ 8.4.2.1.4

$- x \ln (x^{2})$ を移動させます。

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 x^{2} + C x - x \ln (x^{2})$

微分積分 例

微分積分例