微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 8 x \sqrt{16 - y^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} (8 x \sqrt{16 - y^{2}})$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

ステップ 1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

ステップ 1.2.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 4$ であり、 $b = y$ です。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

ステップ 1.2.3

$\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ に $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 (\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}) (x \sqrt{16 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ に $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.2

$\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.3

$\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.6

${\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}$ を $(4 + y) (4 - y)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ を ${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.6.5

簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

ステップ 1.2.5

$8$ と $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

ステップ 1.2.6

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{4^{2} - y^{2}})$

ステップ 1.2.7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 4$ であり、 $b = y$ です。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{(4 + y) (4 - y)})$

ステップ 1.2.8

$\frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{(4 + y) (4 - y)})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1

$x$ と $\frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)})}{(4 + y) (4 - y)} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.8.2

$\frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)})}{(4 + y) (4 - y)}$ と $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}) \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.8.3

$\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 ({\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}))}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.8.4

$\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 ({\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1}))}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.8.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1 + 1})}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.8.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1

${\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}$ を $(4 + y) (4 - y)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ を ${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.9.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.9.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.9.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.9.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{1}}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.9.1.5

簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 ((4 + y) (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.9.2

分配法則（FOIL法）を使って $(4 + y) (4 - y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 (4 - y) + y (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.9.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 \cdot 4 + 4 (- y) + y (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.9.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 \cdot 4 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.9.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.3.1.1

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.9.3.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.9.3.1.3

$4$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 \cdot y + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.9.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - y \cdot y)}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.9.3.1.5

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.3.1.5.1

$y$ を移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - (y \cdot y))}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.9.3.1.5.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.9.3.2

$- 4 y$ と $4 y$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 + 0 - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.9.3.3

$16$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.9.4

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4^{2} - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.9.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 4$ であり、 $b = y$ です。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 + y) (4 - y)}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.10

$4 + y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 + y) (4 - y)}{(4 + y) (4 - y)}$

ステップ 1.2.10.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 - y)}{4 - y}$

ステップ 1.2.11

$4 - y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.11.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 - y)}{4 - y}$

ステップ 1.2.11.2

$x \cdot 8$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 8$

ステップ 1.2.12

$8$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 x$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} d y = 8 x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} d y = \int 8 x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}} d y = \int 8 x d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}}$ の $y$ に関する積分は $\arcsin (\frac{y}{4})$ である

$\arcsin (\frac{y}{4}) + C_{1} = \int 8 x d x$

ステップ 2.2.3

$\arcsin (\frac{y}{4}) + C_{1}$ を $\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1}$ に書き換えます。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \int 8 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$8$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{8}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{4}{1} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 4 x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\arcsin (\frac{1}{4} y) = 4 x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、逆正弦の中から $y$ を取り出します。

$\frac{1}{4} y = \sin (4 x^{2} + K)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{4}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{4} = \sin (4 x^{2} + K)$

ステップ 3.3

方程式の両辺に $4$ を掛けます。

$4 \frac{y}{4} = 4 \sin (4 x^{2} + K)$

ステップ 3.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{y}{4} = 4 \sin (4 x^{2} + K)$

ステップ 3.4.1.2

式を書き換えます。

$y = 4 \sin (4 x^{2} + K)$

微分積分 例

微分積分例