微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int \frac{(x^{3} - 21 x) x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} x^{3} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3 + 3} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

ステップ 2.3.4

$3$ と $3$ をたし算します。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

ステップ 2.3.5

$x$ を $1$ 乗します。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 (x^{1} x^{3})}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

ステップ 2.3.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{1 + 3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

ステップ 2.3.7

$1$ と $3$ をたし算します。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

ステップ 2.3.8

$5$ と $4 x$ を並べ替えます。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{4 x + 5 - x^{2}} d x$

ステップ 2.3.9

$5$ を移動させます。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{4 x - x^{2} + 5} d x$

ステップ 2.3.10

$4 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

ステップ 2.3.11

$x^{6} - 21 x^{4}$ を $- x^{2} + 4 x + 5$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.11.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 2.3.11.2

被除数 $x^{6}$ の最高次項を除数 $- x^{2}$ の最高次項で割ります。

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 2.3.11.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

ステップ 2.3.11.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{6} - 4 x^{5} - 5 x^{4}$ の符号をすべて変更します。

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

ステップ 2.3.11.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

ステップ 2.3.11.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

ステップ 2.3.11.7

被除数 $4 x^{5}$ の最高次項を除数 $- x^{2}$ の最高次項で割ります。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

ステップ 2.3.11.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

ステップ 2.3.11.9

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x^{5} - 16 x^{4} - 20 x^{3}$ の符号をすべて変更します。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

ステップ 2.3.11.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

ステップ 2.3.11.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

ステップ 2.3.11.12

被除数 $20 x^{3}$ の最高次項を除数 $- x^{2}$ の最高次項で割ります。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

ステップ 2.3.11.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

ステップ 2.3.11.14

式は被除数から引く必要があるので、 $20 x^{3} - 80 x^{2} - 100 x$ の符号をすべて変更します。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

ステップ 2.3.11.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

ステップ 2.3.11.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

ステップ 2.3.11.17

被除数 $80 x^{2}$ の最高次項を除数 $- x^{2}$ の最高次項で割ります。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

ステップ 2.3.11.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

ステップ 2.3.11.19

式は被除数から引く必要があるので、 $80 x^{2} - 320 x - 400$ の符号をすべて変更します。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

ステップ 2.3.11.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

$420 x$

$400$

ステップ 2.3.11.21

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$y + C_{1} = \int - x^{4} - 4 x^{3} - 20 x - 80 + \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

ステップ 2.3.12

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int - x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

ステップ 2.3.13

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \int x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

ステップ 2.3.14

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

ステップ 2.3.15

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

ステップ 2.3.16

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

ステップ 2.3.17

$- 20$ は $x$ に対して定数なので、 $- 20$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 \int x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

ステップ 2.3.18

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

ステップ 2.3.19

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

ステップ 2.3.20

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.20.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

ステップ 2.3.20.2

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

ステップ 2.3.21

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.1.1.1

$20$ を $420 x + 400$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.1.1.1.1

$20$ を $420 x$ で因数分解します。

$\frac{20 (21 x) + 400}{- x^{2} + 4 x + 5}$

ステップ 2.3.21.1.1.1.2

$20$ を $400$ で因数分解します。

$\frac{20 (21 x) + 20 (20)}{- x^{2} + 4 x + 5}$

ステップ 2.3.21.1.1.1.3

$20$ を $20 (21 x) + 20 (20)$ で因数分解します。

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + 4 x + 5}$

ステップ 2.3.21.1.1.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.1.1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 5 = - 5$ で和が $b = 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.1.1.2.1.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + 4 (x) + 5}$

ステップ 2.3.21.1.1.2.1.2

$4$ を $- 1$ プラス $5$ に書き換える

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + (- 1 + 5) x + 5}$

ステップ 2.3.21.1.1.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} - 1 x + 5 x + 5}$

ステップ 2.3.21.1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.1.1.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{20 (21 x + 20)}{(- x^{2} - 1 x) + 5 x + 5}$

ステップ 2.3.21.1.1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{20 (21 x + 20)}{x (- x - 1) - 5 (- x - 1)}$

ステップ 2.3.21.1.1.2.3

最大公約数 $- x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{20 (21 x + 20)}{(- x - 1) (x - 5)}$

ステップ 2.3.21.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{- x - 1}$

ステップ 2.3.21.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(- x - 1) (x - 5)$ です。

$\frac{20 (21 x + 20) (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.1.5

$- x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{20 (21 x + 20) (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{20 (21 x + 20) (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.1.6

$x - 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{20 (21 x + 20) (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.1.6.2

$20 (21 x + 20)$ を $1$ で割ります。

$20 (21 x + 20) = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.1.7

分配則を当てはめます。

$20 (21 x) + 20 \cdot 20 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.1.8

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.1.8.1

$21$ に $20$ をかけます。

$420 x + 20 \cdot 20 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.1.8.2

$20$ に $20$ をかけます。

$420 x + 400 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.1.9.1

$- x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.1.9.1.1

共通因数を約分します。

$420 x + 400 = \frac{A (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.1.9.1.2

$(A) (x - 5)$ を $1$ で割ります。

$420 x + 400 = (A) (x - 5) + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.1.9.2

分配則を当てはめます。

$420 x + 400 = A x + A \cdot - 5 + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.1.9.3

$- 5$ を $A$ の左に移動させます。

$420 x + 400 = A x - 5 \cdot A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.1.9.4

$x - 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.1.9.4.1

共通因数を約分します。

$420 x + 400 = A x - 5 A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.1.9.4.2

$(B) (- x - 1)$ を $1$ で割ります。

$420 x + 400 = A x - 5 A + (B) (- x - 1)$

ステップ 2.3.21.1.9.5

分配則を当てはめます。

$420 x + 400 = A x - 5 A + B (- x) + B \cdot - 1$

ステップ 2.3.21.1.9.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x + B \cdot - 1$

ステップ 2.3.21.1.9.7

$- 1$ を $B$ の左に移動させます。

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x - 1 \cdot B$

ステップ 2.3.21.1.9.8

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x - B$

ステップ 2.3.21.1.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.1.10.1

$B$ を移動させます。

$420 x + 400 = A x - 5 A - x B - B$

ステップ 2.3.21.1.10.2

$- 5 A$ を移動させます。

$420 x + 400 = A x - x B - 5 A - B$

ステップ 2.3.21.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$420 = A - 1 B$

ステップ 2.3.21.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$400 = - 5 A - 1 B$

ステップ 2.3.21.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$420 = A - 1 B$

$400 = - 5 A - 1 B$

$420 = A - 1 B$

$400 = - 5 A - 1 B$

ステップ 2.3.21.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.1

$420 = A - 1 B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.1.1

方程式を $A - 1 B = 420$ として書き換えます。

$A - 1 B = 420$

$400 = - 5 A - 1 B$

ステップ 2.3.21.3.1.2

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$A - B = 420$

$400 = - 5 A - 1 B$

ステップ 2.3.21.3.1.3

方程式の両辺に $B$ を足します。

$A = 420 + B$

$400 = - 5 A - 1 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 5 A - 1 B$

ステップ 2.3.21.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $420 + B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.2.1

$400 = - 5 A - 1 B$ の $A$ のすべての発生を $420 + B$ で置き換えます。

$400 = - 5 (420 + B) - 1 B$

$A = 420 + B$

ステップ 2.3.21.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.2.2.1

$- 5 (420 + B) - 1 B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$400 = - 5 \cdot 420 - 5 B - 1 B$

$A = 420 + B$

ステップ 2.3.21.3.2.2.1.1.2

$- 5$ に $420$ をかけます。

$400 = - 2100 - 5 B - 1 B$

$A = 420 + B$

ステップ 2.3.21.3.2.2.1.1.3

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$400 = - 2100 - 5 B - B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 5 B - B$

$A = 420 + B$

ステップ 2.3.21.3.2.2.1.2

$- 5 B$ から $B$ を引きます。

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

ステップ 2.3.21.3.3

$400 = - 2100 - 6 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.3.1

方程式を $- 2100 - 6 B = 400$ として書き換えます。

$- 2100 - 6 B = 400$

$A = 420 + B$

ステップ 2.3.21.3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.3.2.1

方程式の両辺に $2100$ を足します。

$- 6 B = 400 + 2100$

$A = 420 + B$

ステップ 2.3.21.3.3.2.2

$400$ と $2100$ をたし算します。

$- 6 B = 2500$

$A = 420 + B$

$- 6 B = 2500$

$A = 420 + B$

ステップ 2.3.21.3.3.3

$- 6 B = 2500$ の各項を $- 6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.3.3.1

$- 6 B = 2500$ の各項を $- 6$ で割ります。

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

ステップ 2.3.21.3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.3.3.2.1

$- 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

ステップ 2.3.21.3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

ステップ 2.3.21.3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.3.3.3.1

$2500$ と $- 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.3.3.3.1.1

$2$ を $2500$ で因数分解します。

$B = \frac{2 (1250)}{- 6}$

$A = 420 + B$

ステップ 2.3.21.3.3.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.3.3.3.1.2.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$B = \frac{2 \cdot 1250}{2 \cdot - 3}$

$A = 420 + B$

ステップ 2.3.21.3.3.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$B = \frac{2 \cdot 1250}{2 \cdot - 3}$

$A = 420 + B$

ステップ 2.3.21.3.3.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

ステップ 2.3.21.3.3.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

ステップ 2.3.21.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $- \frac{1250}{3}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.4.1

$A = 420 + B$ の $B$ のすべての発生を $- \frac{1250}{3}$ で置き換えます。

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

ステップ 2.3.21.3.4.2

$A = 420 - \frac{1250}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.4.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.4.2.1.1

括弧を削除します。

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

ステップ 2.3.21.3.4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.4.2.2.1

$420 - \frac{1250}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.4.2.2.1.1

$420$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$A = 420 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

ステップ 2.3.21.3.4.2.2.1.2

$420$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$A = \frac{420 \cdot 3}{3} - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

ステップ 2.3.21.3.4.2.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$A = \frac{420 \cdot 3 - 1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

ステップ 2.3.21.3.4.2.2.1.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.4.2.2.1.4.1

$420$ に $3$ をかけます。

$A = \frac{1260 - 1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

ステップ 2.3.21.3.4.2.2.1.4.2

$1260$ から $1250$ を引きます。

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

ステップ 2.3.21.3.5

すべての解をまとめます。

$A = \frac{10}{3}, B = - \frac{1250}{3}$

ステップ 2.3.21.4

$\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{10}{3}}{- x - 1} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{- x - 1} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.5.2

$\frac{10}{3}$ に $\frac{1}{- x - 1}$ をかけます。

$\frac{10}{3 (- x - 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.5.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{10}{3 (- (x) - 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.5.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{10}{3 (- (x) - 1 \cdot 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.5.5

$- 1$ を $- (x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{10}{3 (- (x + 1))} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.5.6

負の数を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.5.6.1

$- (x + 1)$ を $- 1 (x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{10}{3 (- 1 (x + 1))} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.5.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{10}{3 (x + 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.5.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{3} \cdot \frac{1}{x - 5}$

ステップ 2.3.21.5.8

$\frac{1}{x - 5}$ に $\frac{1250}{3}$ をかけます。

$- \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{(x - 5) \cdot 3}$

ステップ 2.3.21.5.9

$3$ を $x - 5$ の左に移動させます。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

ステップ 2.3.22

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

ステップ 2.3.23

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

ステップ 2.3.24

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \int \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

ステップ 2.3.25

$\frac{10}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{10}{3}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - (\frac{10}{3} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

ステップ 2.3.26

$u_{1} = x + 1$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.26.1

$u_{1} = x + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.26.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 2.3.26.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.26.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.26.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.26.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.26.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

ステップ 2.3.27

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

ステップ 2.3.28

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \int \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

ステップ 2.3.29

$\frac{1250}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1250}{3}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - (\frac{1250}{3} \int \frac{1}{x - 5} d x)$

ステップ 2.3.30

$u_{2} = x - 5$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.30.1

$u_{2} = x - 5$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.30.1.1

$x - 5$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

ステップ 2.3.30.1.2

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 2.3.30.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 2.3.30.1.4

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.30.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.30.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \frac{1250}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.31

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \frac{1250}{3} (\ln (| u_{2} |) + C_{7})$

ステップ 2.3.32

簡約します。

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| u_{1} |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

ステップ 2.3.33

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.33.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| x + 1 |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

ステップ 2.3.33.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| x + 1 |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) + C_{8}$

ステップ 2.3.34

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) + C_{8}$

ステップ 2.3.35

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = - x^{4} - 10 x^{2} - \frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) - 80 x + C_{8}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = - x^{4} - 10 x^{2} - \frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) - 80 x + C$

微分積分 例

微分積分例