微分積分例

$2 x (1 + y^{2}) - y \frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$2 x \cdot 1 + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 0$

ステップ 1.1.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 x + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 0$

ステップ 1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$2 x + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} \cdot 1 - y \frac{d y}{d x} x^{2} = 0$

ステップ 1.1.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 x + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2} = 0$

ステップ 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x$

ステップ 1.1.2.2

方程式の両辺から $2 x y^{2}$ を引きます。

$- y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x - 2 x y^{2}$

ステップ 1.1.3

$y \frac{d y}{d x}$ を $- y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$y \frac{d y}{d x}$ を $- y \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} \cdot - 1 - y \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x - 2 x y^{2}$

ステップ 1.1.3.2

$y \frac{d y}{d x}$ を $- y \frac{d y}{d x} x^{2}$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} \cdot - 1 + y \frac{d y}{d x} (- 1 x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$

ステップ 1.1.3.3

$y \frac{d y}{d x}$ を $y \frac{d y}{d x} \cdot - 1 + y \frac{d y}{d x} (- 1 x^{2})$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} (- 1 - 1 x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$

ステップ 1.1.4

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$

ステップ 1.1.5

$y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$ の各項を $y (- 1 - x^{2})$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

$y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$ の各項を $y (- 1 - x^{2})$ で割ります。

$\frac{y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{y (- 1 - x^{2})} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{y (- 1 - x^{2})} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{- 1 - x^{2}} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.2.2

$- 1 - x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{- 1 - x^{2}} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.3.1.2

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.3.1.2.1

$y$ を $- 2 x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{y (- 2 x y)}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.3.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{y (- 2 x y)}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.3.1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y}{- 1 - x^{2}}$

ステップ 1.1.5.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y}{- 1 - x^{2}}$

ステップ 1.1.5.3.2

$- \frac{2 x y}{- 1 - x^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y}{- 1 - x^{2}} \cdot \frac{y}{y}$

ステップ 1.1.5.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $y (- 1 - x^{2})$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.3.3.1

$\frac{2 x y}{- 1 - x^{2}}$ に $\frac{y}{y}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y \cdot y}{(- 1 - x^{2}) y}$

ステップ 1.1.5.3.3.2

$(- 1 - x^{2}) y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y \cdot y}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x - 2 x y \cdot y}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.3.5.1

$2 x$ を $- 2 x - 2 x y \cdot y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.3.5.1.1

$2 x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1) - 2 x y \cdot y}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.3.5.1.2

$2 x$ を $- 2 x y \cdot y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1) + 2 x (- 1 y \cdot y)}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.3.5.1.3

$2 x$ を $2 x (- 1) + 2 x (- 1 y \cdot y)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 y \cdot y)}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.3.5.2

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.3.5.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 (y^{1} y))}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.3.5.2.2

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 (y^{1} y^{1}))}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.3.5.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 y^{1 + 1})}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.3.5.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 y^{2})}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.3.5.3

$- 1 y^{2}$ を $- y^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - y^{2})}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.3.6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.3.6.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1) - y^{2})}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.3.6.2

$- 1$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1) - (y^{2}))}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.3.6.3

$- 1$ を $- 1 (1) - (y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.3.6.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1) - x^{2})}$

ステップ 1.1.5.3.6.5

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1) - (x^{2}))}$

ステップ 1.1.5.3.6.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1 + x^{2}))}$

ステップ 1.1.5.3.6.7

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1 + x^{2}))}$

ステップ 1.1.5.3.6.8

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (1 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y}$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{y}{1 + y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y})$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ に $\frac{1 + y^{2}}{y}$ をかけます。

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{(1 + x^{2}) y}$

ステップ 1.4.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$y$ を $(1 + x^{2}) y$ で因数分解します。

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.4.3

$1 + y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$1 + y^{2}$ を $2 x (1 + y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + y^{2}) (2 x)}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.4.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + y^{2}) (2 x)}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.4.3.3

式を書き換えます。

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u_{1} = 1 + y^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 y d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = 1 + y^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$1 + y^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $1 + y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.2.1.1.3

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.2.1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 y$

ステップ 2.2.1.1.5

$0$ と $2 y$ をたし算します。

$2 y$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\frac{1}{u_{1}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.2.2

$2$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.6

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

$u_{2} = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u_{2} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$u_{2} = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 2.3.2.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.3.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.3.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.3

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.3.7

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| 1 + y^{2} |)$ をまとめます。

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

ステップ 3.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

ステップ 3.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ を簡約します。

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({| 1 + x^{2} |}^{2}) = 2 C$

ステップ 3.4.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| 1 + x^{2} |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$

ステップ 3.4.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}}) = 2 C$

ステップ 3.5

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}})} = e^{2 C}$

ステップ 3.6

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}}) = 2 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7

$y$ について解きます。

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ステップ 3.7.1

方程式を $\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} = e^{2 C}$ として書き換えます。

$\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} = e^{2 C}$

ステップ 3.7.2

両辺に ${(1 + x^{2})}^{2}$ を掛けます。

$\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$

ステップ 3.7.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.7.3.1

${(1 + x^{2})}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$

ステップ 3.7.3.1.2

式を書き換えます。

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$

ステップ 3.7.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.7.4.1

$e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.7.4.1.1

${(1 + x^{2})}^{2}$ を $(1 + x^{2}) (1 + x^{2})$ に書き換えます。

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} ((1 + x^{2}) (1 + x^{2}))$

ステップ 3.7.4.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + x^{2}) (1 + x^{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.4.1.2.1

分配則を当てはめます。

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 (1 + x^{2}) + x^{2} (1 + x^{2}))$

ステップ 3.7.4.1.2.2

分配則を当てはめます。

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 \cdot 1 + 1 x^{2} + x^{2} (1 + x^{2}))$

ステップ 3.7.4.1.2.3

分配則を当てはめます。

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 \cdot 1 + 1 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2})$

ステップ 3.7.4.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.7.4.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.4.1.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + 1 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2})$

ステップ 3.7.4.1.3.1.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2})$

ステップ 3.7.4.1.3.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} + x^{2} x^{2})$

ステップ 3.7.4.1.3.1.4

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.7.4.1.3.1.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} + x^{2 + 2})$

ステップ 3.7.4.1.3.1.4.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} + x^{4})$

ステップ 3.7.4.1.3.2

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + 2 x^{2} + x^{4})$

ステップ 3.7.4.1.4

分配則を当てはめます。

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} \cdot 1 + e^{2 C} (2 x^{2}) + e^{2 C} x^{4}$

ステップ 3.7.4.1.5

簡約します。

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ステップ 3.7.4.1.5.1

$e^{2 C}$ に $1$ をかけます。

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} + e^{2 C} (2 x^{2}) + e^{2 C} x^{4}$

ステップ 3.7.4.1.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} + 2 e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} x^{4}$

ステップ 3.7.4.1.6

$e^{2 C} + 2 e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} x^{4}$ の因数を並べ替えます。

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + x^{4} e^{2 C}$

ステップ 3.7.4.1.7

$e^{2 C}$ を移動させます。

$| 1 + y^{2} | = 2 x^{2} e^{2 C} + x^{4} e^{2 C} + e^{2 C}$

ステップ 3.7.4.1.8

$2 x^{2} e^{2 C}$ と $x^{4} e^{2 C}$ を並べ替えます。

$| 1 + y^{2} | = x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C}$

ステップ 3.7.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$1 + y^{2} = \pm (x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C})$

ステップ 3.7.4.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y^{2} = \pm (x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C}) - 1$

ステップ 3.7.4.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C}) - 1}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{4} C + 2 x^{2} C + C) - 1}$

微分積分 例

微分積分例