微分積分例

$e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

$e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ の各項を $e^{- y}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1.1

$e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ の各項を $e^{- y}$ で割ります。

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

ステップ 1.1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.1

$e^{- y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

ステップ 1.1.1.2.1.2

$1 + \frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$1 + \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}}$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} - 1$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

ステップ 1.3

$\frac{1}{e^{- y}} - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = 1$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = 1 d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = \int d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

分母を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ を掛けます。

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1 \cdot \frac{e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.1.1.2

$- 1$ と $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.1.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{1}{\frac{1 - e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\int 1 \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.1.3

$\frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}}$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.2

$u_{2} = 1 - e^{- y}$ とします。次に $d u_{2} = e^{- y} d y$ すると、 $\frac{1}{e^{- y}} d u_{2} = d y$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1

$u_{2} = 1 - e^{- y}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.1

$1 - e^{- y}$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [1 - e^{- y}]$

ステップ 2.2.2.1.2

微分します。

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ステップ 2.2.2.1.2.1

総和則では、 $1 - e^{- y}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ です。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

ステップ 2.2.2.1.2.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

ステップ 2.2.2.1.3

$\frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.3.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- e^{- y}$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ です。

$0 - \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

ステップ 2.2.2.1.3.2

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = - y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- y$ とします。

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- y])$

ステップ 2.2.2.1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 - (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- y])$

ステップ 2.2.2.1.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- y$ で置き換えます。

$0 - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

ステップ 2.2.2.1.3.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$0 - (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

ステップ 2.2.2.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 2.2.2.1.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - (e^{- y} \cdot - 1)$

ステップ 2.2.2.1.3.6

$- 1$ を $e^{- y}$ の左に移動させます。

$0 - (- 1 \cdot e^{- y})$

ステップ 2.2.2.1.3.7

$- 1 e^{- y}$ を $- e^{- y}$ に書き換えます。

$0 - - e^{- y}$

ステップ 2.2.2.1.3.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 1 e^{- y}$

ステップ 2.2.2.1.3.9

$e^{- y}$ に $1$ をかけます。

$0 + e^{- y}$

ステップ 2.2.2.1.4

$0$ と $e^{- y}$ をたし算します。

$e^{- y}$

ステップ 2.2.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.2.4

$u_{2}$ のすべての発生を $1 - e^{- y}$ で置き換えます。

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| 1 - e^{- y} |) = x + C$

微分積分 例

微分積分例