微分積分例

$\frac{d y}{d x} - x y = 0$

ステップ 1

$P (x) = - x$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int - x d x}$

ステップ 1.2

$- x$ を積分します。

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ステップ 1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int x d x}$

ステップ 1.2.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

ステップ 1.2.3

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ に書き換えます。

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$

ステップ 1.4

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ を掛けます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 0$

ステップ 2.3

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ に $0$ をかけます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = 0$

ステップ 2.4

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = 0$ の因数を並べ替えます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - x y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] = 0$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int 0 d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int 0 d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

ステップ 6.2

$0$ と $C$ をたし算します。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$

ステップ 7

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ の各項を $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ の各項を $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

微分積分 例

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