微分積分例

$25 \frac{d T}{d t} + T = 80 e^{- 0.04 t}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d T}{d t} + M (t) T = Q (t)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$25 \frac{d T}{d t} + T = 80 e^{- 0.04 t}$ の各項を $25$ で割ります。

$\frac{25 \frac{d T}{d t}}{25} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

ステップ 1.2

$25$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{25 \frac{d T}{d t}}{25} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d T}{d t}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

ステップ 1.3

$80$ と $25$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

$5$ を $80 e^{- 0.04 t}$ で因数分解します。

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{25}$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$5$ を $25$ で因数分解します。

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{5 (5)}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{5 \cdot 5}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{16 e^{- 0.04 t}}{5}$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$\frac{d T}{d t} + \frac{1}{25} T = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t}$

ステップ 2

$P (t) = \frac{1}{25}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{1}{25} d t}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{\frac{1}{25} t + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{\frac{1}{25} t}$

ステップ 2.4

$\frac{1}{25}$ と $t$ をまとめます。

$e^{\frac{t}{25}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{\frac{t}{25}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{\frac{t}{25}}$ を掛けます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + e^{\frac{t}{25}} (\frac{1}{25} T) = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{1}{25} e^{\frac{t}{25}} T = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{25}$ と $e^{\frac{t}{25}}$ をまとめます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}}}{25} T = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

ステップ 3.2.3

$\frac{e^{\frac{t}{25}}}{25}$ と $T$ をまとめます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t}{25}} e^{- 0.04 t}$

ステップ 3.4

指数を足して $e^{\frac{t}{25}}$ に $e^{- 0.04 t}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1

$e^{- 0.04 t}$ を移動させます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} (e^{- 0.04 t} e^{\frac{t}{25}})$

ステップ 3.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t + \frac{t}{25}}$

ステップ 3.4.3

$- 0.04 t$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{25}{25}$ を掛けます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t \cdot \frac{25}{25} + \frac{t}{25}}$

ステップ 3.4.4

$- 0.04 t$ と $\frac{25}{25}$ をまとめます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{- 0.04 t \cdot 25}{25} + \frac{t}{25}}$

ステップ 3.4.5

公分母の分子をまとめます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{- 0.04 t \cdot 25 + t}{25}}$

ステップ 3.4.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.6.1

$t$ を $- 0.04 t \cdot 25 + t$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.6.1.1

$t$ を $- 0.04 t \cdot 25$ で因数分解します。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t}{25}}$

ステップ 3.4.6.1.2

$t$ を $1$ 乗します。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t^{1}}{25}}$

ステップ 3.4.6.1.3

$t$ を $t^{1}$ で因数分解します。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t \cdot 1}{25}}$

ステップ 3.4.6.1.4

$t$ を $t (- 0.04 \cdot 25) + t \cdot 1$ で因数分解します。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25 + 1)}{25}}$

ステップ 3.4.6.2

$- 0.04$ に $25$ をかけます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 1 + 1)}{25}}$

ステップ 3.4.6.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t \cdot 0}{25}}$

ステップ 3.4.7

$t$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{0}{25}}$

ステップ 3.4.8

$0$ を $25$ で割ります。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{0}$

ステップ 3.5

$\frac{16}{5} e^{0}$ を簡約します。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5}$

ステップ 3.6

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5}$ の因数を並べ替えます。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{T e^{\frac{t}{25}}}{25} = \frac{16}{5}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} T] = \frac{16}{5}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} T] d t = \int \frac{16}{5} d t$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{\frac{t}{25}} T = \int \frac{16}{5} d t$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$

ステップ 8

$e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$ の各項を $e^{\frac{t}{25}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$ の各項を $e^{\frac{t}{25}}$ で割ります。

$\frac{e^{\frac{t}{25}} T}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{\frac{t}{25}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\frac{t}{25}} T}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

ステップ 8.2.1.2

$T$ を $1$ で割ります。

$T = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$\frac{16}{5}$ と $t$ をまとめます。

$T = \frac{\frac{16 t}{5}}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

ステップ 8.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$T = \frac{16 t}{5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

ステップ 8.3.1.3

まとめる。

$T = \frac{16 t \cdot 1}{5 e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

ステップ 8.3.1.4

$16$ に $1$ をかけます。

$T = \frac{16 t}{5 e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

微分積分 例

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