微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - y}{x}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{2 - y}$ を掛けます。

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} \cdot \frac{2 - y}{x}$

ステップ 1.2

$2 - y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} \cdot \frac{2 - y}{x}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{2 - y} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{2 - y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = 2 - y$ とします。次に $d u = - d y$ すると、 $- d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = 2 - y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 2.2.1.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2

分数を複数の分数に分割します。

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.6

$u$ のすべての発生を $2 - y$ で置き換えます。

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \ln (| 2 - y |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- \ln (| 2 - y |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $\ln (| x |)$ を足します。

$- \ln (| 2 - y |) = C + \ln (| x |)$

ステップ 3.3

$- \ln (| 2 - y |) = C + \ln (| x |)$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- \ln (| 2 - y |) = C + \ln (| x |)$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \ln (| 2 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\ln (| 2 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 3.3.2.2

$\ln (| 2 - y |)$ を $1$ で割ります。

$\ln (| 2 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1.1

$\frac{C}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln (| 2 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 3.3.3.1.2

$- 1 \cdot C$ を $- C$ に書き換えます。

$\ln (| 2 - y |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 3.3.3.1.3

$\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln (| 2 - y |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

ステップ 3.3.3.1.4

$- 1 \cdot \ln (| x |)$ を $- \ln (| x |)$ に書き換えます。

$\ln (| 2 - y |) = - C - \ln (| x |)$

ステップ 3.4

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| 2 - y |) + \ln (| x |) = - C$

ステップ 3.5

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| 2 - y | | x |) = - C$

ステップ 3.6

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (| (2 - y) x |) = - C$

ステップ 3.7

分配則を当てはめます。

$\ln (| 2 x - y x |) = - C$

ステップ 3.8

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| 2 x - y x |)} = e^{- C}$

ステップ 3.9

対数の定義を利用して $\ln (| 2 x - y x |) = - C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- C} = | 2 x - y x |$

ステップ 3.10

$y$ について解きます。

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ステップ 3.10.1

方程式を $| 2 x - y x | = e^{- C}$ として書き換えます。

$| 2 x - y x | = e^{- C}$

ステップ 3.10.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$2 x - y x = \pm e^{- C}$

ステップ 3.10.3

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$- y x = \pm e^{- C} - 2 x$

ステップ 3.10.4

$- y x = \pm e^{- C} - 2 x$ の各項を $- x$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.10.4.1

$- y x = \pm e^{- C} - 2 x$ の各項を $- x$ で割ります。

$\frac{- y x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

ステップ 3.10.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.10.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

ステップ 3.10.4.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.10.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

ステップ 3.10.4.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

ステップ 3.10.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.10.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.10.4.3.1.1

$\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ を簡約します。

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- 2 x}{- x}$

ステップ 3.10.4.3.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.10.4.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- 2 x}{- x}$

ステップ 3.10.4.3.1.2.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 3.10.4.3.1.2.3

$\frac{- 2}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} - 1 \cdot - 2$

ステップ 3.10.4.3.1.3

$- 1 \cdot - 2$ を $- - 2$ に書き換えます。

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} - - 2$

ステップ 3.10.4.3.1.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 2$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{C}{x} + 2$

微分積分 例

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