微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 x (y^{2} + 1)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (2 x (y^{2} + 1))$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y^{2} + 1} (x (y^{2} + 1))$

ステップ 1.2.2

$2$ と $\frac{1}{y^{2} + 1}$ をまとめます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y^{2} + 1} (x (y^{2} + 1))$

ステップ 1.2.3

$y^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

$y^{2} + 1$ を $x (y^{2} + 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) x)$

ステップ 1.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) x)$

ステップ 1.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 2 x$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 2 x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int 2 x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\arctan (y) + C_{1}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \int 2 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\arctan (y) + C_{1} = 2 \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$\arctan (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\arctan (y) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\arctan (y) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\arctan (y) = x^{2} + K$

ステップ 3

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (x^{2} + K)$

微分積分 例

微分積分例