微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x \sin (x)$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = x \sin (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int x \sin (x) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int x \sin (x) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = x$ と $d v = \sin (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y + C_{1} = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

ステップ 2.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

ステップ 2.3.3.2

$\int \cos (x) d x$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

ステップ 2.3.4

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$y + C_{1} = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$

ステップ 2.3.5

$x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$ を $- x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = - x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - x \cos (x) + \sin (x) + K$

微分積分 例