微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x^{2} e^{4 x}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = x^{2} e^{4 x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int x^{2} e^{4 x} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int x^{2} e^{4 x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$u = x^{2}$ と $d v = e^{4 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y + C_{1} = x^{2} (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

ステップ 2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$\frac{1}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$y + C_{1} = x^{2} \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

ステップ 2.3.2.2

$x^{2}$ と $\frac{e^{4 x}}{4}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{4} \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 2 \int e^{4 x} (x) d x)$

ステップ 2.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$\frac{1}{4}$ と $2$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2}{4} \int e^{4 x} (x) d x)$

ステップ 2.3.4.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 (1)}{4} \int e^{4 x} (x) d x)$

ステップ 2.3.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{4 x} (x) d x)$

ステップ 2.3.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{4 x} (x) d x)$

ステップ 2.3.4.2.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{2} \int e^{4 x} (x) d x)$

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} \int e^{4 x} (x) d x$

ステップ 2.3.5

$u = x$ と $d v = e^{4 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

ステップ 2.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$\frac{1}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

ステップ 2.3.6.2

$x$ と $\frac{e^{4 x}}{4}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

ステップ 2.3.6.3

$\frac{1}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

ステップ 2.3.7

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

ステップ 2.3.8

$u = 4 x$ とします。次に $d u = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1

$u = 4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.3.8.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 2.3.8.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 2.3.8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

ステップ 2.3.9

$e^{u}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

ステップ 2.3.10

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

ステップ 2.3.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.11.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

ステップ 2.3.11.2

$4$ に $4$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

ステップ 2.3.12

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C_{2}))$

ステップ 2.3.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.13.1

$\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C_{2}))$ を $\frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

ステップ 2.3.13.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.13.2.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2}}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

ステップ 2.3.13.2.2

$\frac{x^{2}}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

ステップ 2.3.13.2.3

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

ステップ 2.3.13.2.4

$\frac{x}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

ステップ 2.3.13.2.5

$e^{u}$ と $\frac{1}{16}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C_{2}$

ステップ 2.3.13.2.6

$- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot \frac{4}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.13.2.7

$- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot 4}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.13.2.8

公分母の分子をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot 4}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.13.2.9

$4$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 4 (\frac{1}{2}) (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.13.2.10

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{- 4}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.13.2.11

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.13.2.11.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.13.2.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.13.2.11.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.13.2.11.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.13.2.11.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.13.2.11.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.14

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.15.1

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 \frac{x e^{4 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.15.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.15.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{4 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.15.2.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.15.2.3

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.15.2.4

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.15.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.15.3.1

$- \frac{e^{4 x}}{16}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - 2 \frac{- e^{4 x}}{16}}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.15.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- 1) \frac{- e^{4 x}}{16}}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.15.3.3

$2$ を $16$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8}}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.15.3.4

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8}}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.15.3.5

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{- e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.15.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.15.4.1

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - - \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.15.4.2

$- - \frac{e^{4 x}}{8}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.15.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 1 \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.15.4.2.2

$\frac{e^{4 x}}{8}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.16

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} x e^{4 x} + \frac{1}{8} e^{4 x}) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{4} (x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} x e^{4 x} + \frac{1}{8} e^{4 x}) + K$

微分積分 例

微分積分例