微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \tan (x) \cos^{2} (y)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\tan (x) \cos^{2} (y))$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

$\cos^{2} (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

$\cos^{2} (y)$ を $\tan (x) \cos^{2} (y)$ で因数分解します。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \tan (x))$

ステップ 1.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \tan (x))$

ステップ 1.2.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

ステップ 1.2.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 1.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \tan (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \tan (x) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ を $\sec^{2} (y)$ に変換します。

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \tan (x) d x$

ステップ 2.2.2

$\tan (y)$ の微分係数が $\sec^{2} (y)$ なので、 $\sec^{2} (y)$ の積分は $\tan (y)$ です。

$\tan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

ステップ 2.3

$\tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) |)$ です。

$\tan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\tan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

ステップ 3

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $y$ を取り出します。

$y = \arctan (\ln (| \sec (x) |) + C)$

微分積分 例

微分積分例