微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}}$ , $y (0) = 6$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{{(6 + x)}^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

$u = 6 + x$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 6 + x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$6 + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 + x]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $6 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.1.3

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 2.3.2.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 2.3.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.3.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = 7 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3.3.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = 7 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = 7 \int u^{- 2} d u$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$y + C_{1} = 7 (- u^{- 1} + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$7 (- u^{- 1} + C_{2})$ を $7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

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ステップ 2.3.5.2.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$y + C_{1} = - 7 \frac{1}{u} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.2

$- 7$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{- 7}{u} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = - \frac{7}{u} + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $6 + x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{7}{6 + x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - \frac{7}{6 + x} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ の $0$ を $x$ に、 $6$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$6 = - \frac{7}{6 + 0} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$ として書き換えます。

$- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$

ステップ 4.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{7}{6} + K = 6$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $\frac{7}{6}$ を足します。

$K = 6 + \frac{7}{6}$

ステップ 4.3.2

$6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$K = 6 \cdot \frac{6}{6} + \frac{7}{6}$

ステップ 4.3.3

$6$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$K = \frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{7}{6}$

ステップ 4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$K = \frac{6 \cdot 6 + 7}{6}$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$6$ に $6$ をかけます。

$K = \frac{36 + 7}{6}$

ステップ 4.3.5.2

$36$ と $7$ をたし算します。

$K = \frac{43}{6}$

ステップ 5

$\frac{43}{6}$ を $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{43}{6}$ を $K$ に代入します。

$y = - \frac{7}{6 + x} + \frac{43}{6}$

ステップ 5.2

$- \frac{7}{6 + x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6}$

ステップ 5.3

$\frac{43}{6}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6 + x}{6 + x}$ を掛けます。

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

ステップ 5.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(6 + x) \cdot 6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.4.1

$\frac{7}{6 + x}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

ステップ 5.4.2

$\frac{43}{6}$ に $\frac{6 + x}{6 + x}$ をかけます。

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

ステップ 5.4.3

$(6 + x) \cdot 6$ の因数を並べ替えます。

$y = - \frac{7 \cdot 6}{6 (6 + x)} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

ステップ 5.5

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- 7 \cdot 6 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

ステップ 5.6

分子を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$- 7$ に $6$ をかけます。

$y = \frac{- 42 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

ステップ 5.6.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 42 + 43 \cdot 6 + 43 x}{6 (6 + x)}$

ステップ 5.6.3

$43$ に $6$ をかけます。

$y = \frac{- 42 + 258 + 43 x}{6 (6 + x)}$

ステップ 5.6.4

$- 42$ と $258$ をたし算します。

$y = \frac{216 + 43 x}{6 (6 + x)}$

微分積分 例

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