微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \ln (x)$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \ln (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \ln (x) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \ln (x) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = \ln (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y + C_{1} = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

ステップ 2.3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

ステップ 2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \ln (x) x - \int d x$

$y + C_{1} = \ln (x) x - \int d x$

$y + C_{1} = \ln (x) x - \int d x$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \ln (x) x - (x + C_{2})$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$y + C_{1} = \ln (x) x - x + C_{2}$

ステップ 2.3.5

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = x \ln (x) - x + C_{2}$

$y + C_{1} = x \ln (x) - x + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = x \ln (x) - x + K$

$y = x \ln (x) - x + K$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$