微分積分例

$2 w t \frac{d t}{d w} = t^{2} - 2 w^{3}$

ステップ 1

$v = t^{2}$ とします。 $v$ を $t^{2}$ に代入します。

$2 w t \frac{d t}{d w} = v - 2 w^{3}$

ステップ 2

$t^{2}$ を微分し、 $\frac{d v}{d w}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (w) = w^{2}$ および $g (w) = t$ のとき、 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ は $f' (g (w)) g' (w)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t$ とします。

$\frac{d v}{d w} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d w} [t]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d v}{d w} = 2 u \frac{d}{d w} [t]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $t$ で置き換えます。

$\frac{d v}{d w} = 2 t \frac{d}{d w} [t]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d w} [t]$ を $t'$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d w} = 2 t t'$

ステップ 3

微分係数を微分方程式に戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 t$ を $2 w t$ で因数分解します。

$2 t (w) \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

ステップ 3.2

共通因数を約分します。

$2 t w \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

ステップ 3.3

式を書き換えます。

$w \frac{d v}{d w} = v - 2 w^{3}$

ステップ 4

微分方程式を $\frac{d v}{d w} + M (w) v = Q (w)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式の両辺から $v$ を引きます。

$w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$

ステップ 4.2

$w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$ の各項を $w$ で割ります。

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

ステップ 4.3

$w$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

ステップ 4.3.2

$\frac{d v}{d w}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

ステップ 4.4

$w^{3}$ と $w$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$w$ を $- 2 w^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w}$

ステップ 4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$w$ を $1$ 乗します。

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w^{1}}$

ステップ 4.4.2.2

$w$ を $w^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

ステップ 4.4.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

ステップ 4.4.2.4

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{2}}{1}$

ステップ 4.4.2.5

$- 2 w^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = - 2 w^{2}$

ステップ 4.5

$v$ を $\frac{- v}{w}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d w} + v \frac{- 1}{w} = - 2 w^{2}$

ステップ 4.6

$v$ と $\frac{- 1}{w}$ を並べ替えます。

$\frac{d v}{d w} + \frac{- 1}{w} v = - 2 w^{2}$

ステップ 5

$P (w) = \frac{- 1}{w}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (w) d w}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{- 1}{w} d w}$

ステップ 5.2

$\frac{- 1}{w}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$e^{\int - \frac{1}{w} d w}$

ステップ 5.2.2

$- 1$ は $w$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{1}{w} d w}$

ステップ 5.2.3

$\frac{1}{w}$ の $w$ に関する積分は $\ln (| w |)$ です。

$e^{- (\ln (| w |) + C)}$

ステップ 5.2.4

簡約します。

$e^{- \ln (| w |) + C}$

ステップ 5.3

積分定数を削除します。

$e^{- \ln (w)}$

ステップ 5.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (w^{- 1})}$

ステップ 5.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$w^{- 1}$

ステップ 5.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{w}$

ステップ 6

各項に積分因数 $\frac{1}{w}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

各項に $\frac{1}{w}$ を掛けます。

$\frac{1}{w} \frac{d v}{d w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\frac{1}{w}$ と $\frac{d v}{d w}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

ステップ 6.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (- \frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

ステップ 6.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} (\frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

ステップ 6.2.4

$\frac{1}{w}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

ステップ 6.2.5

$- \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

$\frac{v}{w}$ に $\frac{1}{w}$ をかけます。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w \cdot w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

ステップ 6.2.5.2

$w$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

ステップ 6.2.5.3

$w$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w^{1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

ステップ 6.2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1 + 1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

ステップ 6.2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

ステップ 6.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 \frac{1}{w} w^{2}$

ステップ 6.4

$- 2$ と $\frac{1}{w}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} w^{2}$

ステップ 6.5

$w$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$w$ を $w^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

ステップ 6.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

ステップ 6.5.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 w$

ステップ 7

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] = - 2 w$

ステップ 8

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] d w = \int - 2 w d w$

ステップ 9

左辺を積分します。

$\frac{1}{w} v = \int - 2 w d w$

ステップ 10

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$- 2$ は $w$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{w} v = - 2 \int w d w$

ステップ 10.2

べき乗則では、 $w$ の $w$ に関する積分は $\frac{1}{2} w^{2}$ です。

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$

ステップ 10.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$- 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$ を $- 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$

ステップ 10.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{w} v = \frac{- 2}{2} w^{2} + C$

ステップ 10.3.2.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} w^{2} + C$

ステップ 10.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} w^{2} + C$

ステップ 10.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} w^{2} + C$

ステップ 10.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{w} v = \frac{- 1}{1} w^{2} + C$

ステップ 10.3.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{w} v = - w^{2} + C$

ステップ 11

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$\frac{1}{w}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{v}{w} = - w^{2} + C$

ステップ 11.2

両辺に $w$ を掛けます。

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

ステップ 11.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1.1

$w$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

ステップ 11.3.1.1.2

式を書き換えます。

$v = (- w^{2} + C) w$

ステップ 11.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1

$(- w^{2} + C) w$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$v = - w^{2} w + C w$

ステップ 11.3.2.1.2

指数を足して $w^{2}$ に $w$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1.2.1

$w$ を移動させます。

$v = - (w \cdot w^{2}) + C w$

ステップ 11.3.2.1.2.2

$w$ に $w^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1.2.2.1

$w$ を $1$ 乗します。

$v = - (w^{1} w^{2}) + C w$

ステップ 11.3.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$v = - w^{1 + 2} + C w$

ステップ 11.3.2.1.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$v = - w^{3} + C w$

ステップ 12

$v$ のすべての発生を $t^{2}$ で置き換えます。

$t^{2} = - w^{3} + C w$

ステップ 13

$t$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$t = \pm \sqrt{- w^{3} + C w}$

ステップ 13.2

$w$ を $- w^{3} + C w$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$w$ を $- w^{3}$ で因数分解します。

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + C w}$

ステップ 13.2.2

$w$ を $C w$ で因数分解します。

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + w C}$

ステップ 13.2.3

$w$ を $w (- w^{2}) + w C$ で因数分解します。

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

ステップ 13.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

ステップ 13.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

ステップ 13.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

微分積分 例

微分積分例