微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \sin (x)$

ステップ 1

$P (x) = 2$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 d x}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{2 x + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{2 x}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{2 x}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{2 x}$ を掛けます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} \sin (x)$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \sin (x)$

ステップ 2.3

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = e^{2 x} \sin (x)$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = e^{2 x} \sin (x)$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int e^{2 x} \sin (x) d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{2 x} y = \int e^{2 x} \sin (x) d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$e^{2 x}$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$e^{2 x} y = \int \sin (x) e^{2 x} d x$

ステップ 6.2

$u = \sin (x)$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{2 x} y = \sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cos (x) d x$

ステップ 6.3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = \sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

ステップ 6.4

分数をまとめます。

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ステップ 6.4.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \sin (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

ステップ 6.4.2

$\sin (x)$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

ステップ 6.4.3

$e^{2 x}$ と $\cos (x)$ を並べ替えます。

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (x) e^{2 x} d x)$

ステップ 6.5

$u = \cos (x)$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- \sin (x)) d x))$

ステップ 6.6

$\frac{1}{2} \cdot - 1$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2} \cdot - 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

ステップ 6.7

項を簡約します。

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ステップ 6.7.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

ステップ 6.7.2

$\cos (x)$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

ステップ 6.7.3

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

ステップ 6.7.4

分配則を当てはめます。

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

ステップ 6.7.5

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

ステップ 6.7.6

掛け算します。

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ステップ 6.7.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

ステップ 6.7.6.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + 1 (\frac{1}{2}) (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

ステップ 6.7.6.3

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

ステップ 6.7.7

$\frac{- 1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

ステップ 6.7.8

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{4} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

ステップ 6.8

$\int e^{2 x} \sin (x) d x$ を解くと、 $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}}$ であることが分かります。

$e^{2 x} y = \frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

ステップ 6.9

答えを簡約します。

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ステップ 6.9.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{5}{4}$ で割ります。

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

ステップ 6.9.2

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ を $(\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$ に書き換えます。

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

ステップ 6.9.3

簡約します。

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ステップ 6.9.3.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x)}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

ステップ 6.9.3.2

$\frac{\sin (x)}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

ステップ 6.9.3.3

$\cos (x)$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x)}{4} e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

ステップ 6.9.3.4

$e^{2 x}$ と $\frac{\cos (x)}{4}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos (x)}{4}) \frac{4}{5} + C$

ステップ 6.9.4

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

ステップ 7

$y$ について解きます。

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ステップ 7.1

簡約します。

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ステップ 7.1.1

$e^{2 x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{e^{2 x}}{4} \cdot \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

ステップ 7.1.2

$\cos (x)$ と $\frac{e^{2 x}}{4}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

ステップ 7.1.3

括弧を削除します。

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

ステップ 7.2

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5}) + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5}) + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割ります。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1.1.1

$e^{2 x}$ を $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ で因数分解します。

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ステップ 7.2.3.1.1.1.1

$e^{2 x}$ を $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x)$ で因数分解します。

$y = \frac{(e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.1.2

$e^{2 x}$ を $- \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ で因数分解します。

$y = \frac{(e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) + e^{2 x} (- \frac{\cos (x)}{4})) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.1.3

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) + e^{2 x} (- \frac{\cos (x)}{4})$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x) - \frac{\cos (x)}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.2

$\frac{1}{2}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.3

$\frac{4}{5}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{4 e^{2 x}}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.1.2

$\frac{4 e^{2 x}}{5}$ を $\frac{\frac{4 e^{2 x}}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4})}{e^{2 x}}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 e^{2 x}}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.1.3

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.1.3.1

$e^{2 x}$ を $4 e^{2 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{2 x} \cdot 4}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.1.3.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{e^{2 x} \cdot 4}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.1.3.3

式を書き換えます。

$y = \frac{4}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.1.4

分配則を当てはめます。

$y = \frac{4}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.1.5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (2)}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.1.5.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.1.5.3

式を書き換えます。

$y = \frac{2}{5} \sin (x) + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.1.6

$\frac{2}{5}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.1.7

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.1.7.1

$- \frac{\cos (x)}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{- \cos (x)}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.1.7.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{- \cos (x)}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.1.7.3

式を書き換えます。

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{1}{5} (- \cos (x)) + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.3.1.8

$\frac{1}{5}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} - \frac{\cos (x)}{5} + \frac{C}{e^{2 x}}$

微分積分 例

微分積分例