微分積分例

$y^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y^{3} = 6 x$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $2 x y^{3}$ を引きます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x - 2 x y^{3}$

ステップ 1.1.2

$y^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x - 2 x y^{3}$ の各項を $y^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$y^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x - 2 x y^{3}$ の各項を $y^{2}$ で割ります。

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{3}}{y^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{3}}{y^{2}}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{3}}{y^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

$y^{3}$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$y^{2}$ を $- 2 x y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{y^{2} (- 2 x y)}{y^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{y^{2} (- 2 x y)}{y^{2} \cdot 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{y^{2} (- 2 x y)}{y^{2} \cdot 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y}{1}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.4

$- 2 x y$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} - 2 x y$

ステップ 1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2 x$ を $\frac{6 x}{y^{2}} - 2 x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$2 x$ を $\frac{6 x}{y^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3}{y^{2}} - 2 x y$

ステップ 1.2.1.2

$2 x$ を $- 2 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3}{y^{2}} + 2 x (- 1 y)$

ステップ 1.2.1.3

$2 x$ を $2 x \frac{3}{y^{2}} + 2 x (- 1 y)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} - 1 y)$

ステップ 1.2.2

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} - y)$

ステップ 1.2.3

$- y$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} - y \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}})$

ステップ 1.2.4

$- y$ と $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} + \frac{- y \cdot y^{2}}{y^{2}})$

ステップ 1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y \cdot y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 1.2.6

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$y^{2}$ を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - (y^{2} y)}{y^{2}}$

ステップ 1.2.6.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - (y^{2} y^{1})}{y^{2}}$

ステップ 1.2.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y^{2 + 1}}{y^{2}}$

ステップ 1.2.6.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$

ステップ 1.2.7

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

$2$ と $\frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{2 (3 - y^{3})}{y^{2}}$

ステップ 1.2.7.2

$x$ と $\frac{2 (3 - y^{3})}{y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 (3 - y^{3}))}{y^{2}}$

ステップ 1.2.8

不要な括弧を削除します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (3 - y^{3})}{y^{2}}$

ステップ 1.2.9

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

ステップ 1.2.10

$2$ に $x$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{y^{2}}{3 - y^{3}}$ を掛けます。

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{3 - y^{3}} (2 x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}})$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{y^{2}}{3 - y^{3}} (x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}})$

ステップ 1.5.2

$2$ と $\frac{y^{2}}{3 - y^{3}}$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{3 - y^{3}} (x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}})$

ステップ 1.5.3

$x$ と $\frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{3 - y^{3}} \cdot \frac{x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

ステップ 1.5.4

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$y^{2}$ を $2 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 2}{3 - y^{3}} \cdot \frac{x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

ステップ 1.5.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 2}{3 - y^{3}} \cdot \frac{x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

ステップ 1.5.4.3

式を書き換えます。

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 - y^{3}} (x (3 - y^{3}))$

ステップ 1.5.5

$3 - y^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1

$3 - y^{3}$ を $x (3 - y^{3})$ で因数分解します。

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 - y^{3}} ((3 - y^{3}) x)$

ステップ 1.5.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 - y^{3}} ((3 - y^{3}) x)$

ステップ 1.5.5.3

式を書き換えます。

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = 2 x$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} d y = 2 x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y^{2}}{3 - y^{3}} d y = \int 2 x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$y^{3}$ を ${(y^{3})}^{1}$ に書き換えます。

$\int \frac{y^{2}}{3 - {(y^{3})}^{1}} d y = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.2

$u_{1} = y^{3}$ とします。次に $d u_{1} = 3 y^{2} d y$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = y^{2} d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$u_{1} = y^{3}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$y^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y^{3}]$

ステップ 2.2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y^{2}$

ステップ 2.2.2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{3 - {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

簡約します。

$\int \frac{1}{3 - u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.3.2

$\frac{1}{3 - u_{1}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\int \frac{1}{(3 - u_{1}) \cdot 3} d u_{1} = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.3.3

$3$ を $3 - u_{1}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{3 (3 - u_{1})} d u_{1} = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 - u_{1}} d u_{1} = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.5

$u_{2} = 3 - u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = - d u_{1}$ すると、 $- d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$u_{2} = 3 - u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 2.2.5.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 2.2.5.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2} = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.7

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.8

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{3} (- (\ln (| u_{2} |) + C_{1})) = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.9.1

簡約します。

$\frac{1}{3} (- \ln (| u_{2} |)) + C_{1} = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.9.2

$\frac{1}{3}$ と $\ln (| u_{2} |)$ をまとめます。

$- \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} + C_{1} = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.10

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.1

$u_{2}$ のすべての発生を $3 - u_{1}$ で置き換えます。

$- \frac{\ln (| 3 - u_{1} |)}{3} + C_{1} = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.10.2

$u_{1}$ のすべての発生を $y^{3}$ で置き換えます。

$- \frac{\ln (| 3 - y^{3} |)}{3} + C_{1} = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.11

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = \int 2 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 2 \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) = x^{2} + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $- 3$ を掛けます。

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |)) = - 3 (x^{2} + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\ln (| 3 - y^{3} |)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- 3 (- \frac{\ln (| 3 - y^{3} |)}{3}) = - 3 (x^{2} + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

$- \frac{\ln (| 3 - y^{3} |)}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 3 \frac{- \ln (| 3 - y^{3} |)}{3} = - 3 (x^{2} + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - y^{3} |)}{3} = - 3 (x^{2} + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - y^{3} |)}{3} = - 3 (x^{2} + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.4

式を書き換えます。

$- - \ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 (x^{2} + C)$

ステップ 3.2.1.1.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 (x^{2} + C)$

ステップ 3.2.1.1.3.2

$\ln (| 3 - y^{3} |)$ に $1$ をかけます。

$\ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 (x^{2} + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 x^{2} - 3 C$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| 3 - y^{3} |)} = e^{- 3 x^{2} - 3 C}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 x^{2} - 3 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 3 x^{2} - 3 C} = | 3 - y^{3} |$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式を $| 3 - y^{3} | = e^{- 3 x^{2} - 3 C}$ として書き換えます。

$| 3 - y^{3} | = e^{- 3 x^{2} - 3 C}$

ステップ 3.5.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$3 - y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}$

ステップ 3.5.3

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C} - 3$

ステップ 3.5.4

$- y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C} - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

$- y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C} - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.5.4.2.2

$y^{3}$ を $1$ で割ります。

$y^{3} = \frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.5.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.3.1.1

$\frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y^{3} = - 1 \cdot (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.5.4.3.1.2

$- 1 \cdot (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C})$ を $- (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C})$ に書き換えます。

$y^{3} = - (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.5.4.3.1.3

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$y^{3} = - (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + 3$

ステップ 3.5.5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + 3}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{- 3 x^{2} + C}) + 3}$

ステップ 4.2

$e^{- 3 x^{2} + C}$ を $e^{- 3 x^{2}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{- 3 x^{2}} e^{C}) + 3}$

ステップ 4.3

$e^{- 3 x^{2}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{C} e^{- 3 x^{2}}) + 3}$

ステップ 4.4

定数を正または負でまとめます。

$y = \sqrt[3]{- (C e^{- 3 x^{2}}) + 3}$

微分積分 例

微分積分例