微分積分例

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 0$

ステップ 1

方程式の左辺は項 $(1 + e^{x}) y$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 1.1

$f (x) = 1 + e^{x}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$(1 + e^{x}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

ステップ 1.3

総和則では、 $1 + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$(1 + e^{x}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 1.5

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + e^{x})$

ステップ 1.6

$0$ と $e^{x}$ をたし算します。

$(1 + e^{x}) y' + y e^{x}$

ステップ 1.7

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + y e^{x}$

ステップ 2

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] = 0$

ステップ 3

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] d x = \int 0 d x$

ステップ 4

左辺を積分します。

$(1 + e^{x}) y = \int 0 d x$

ステップ 5

右辺を積分します。

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ステップ 5.1

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$(1 + e^{x}) y = 0 + C$

ステップ 5.2

$0$ と $C$ をたし算します。

$(1 + e^{x}) y = C$

ステップ 6

$(1 + e^{x}) y = C$ の各項を $1 + e^{x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$(1 + e^{x}) y = C$ の各項を $1 + e^{x}$ で割ります。

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$1 + e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

ステップ 6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{C}{1 + e^{x}}$

微分積分 例

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