微分積分例

$x \sqrt{x^{2} + 1} - y e^{y} \frac{d y}{d x} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

$x \sqrt{x^{2} + 1} - y e^{y} \frac{d y}{d x}$ の因数を並べ替えます。

$x \sqrt{x^{2} + 1} - y \frac{d y}{d x} e^{y} = 0$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $x \sqrt{x^{2} + 1}$ を引きます。

$- y \frac{d y}{d x} e^{y} = - x \sqrt{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.3

$- y \frac{d y}{d x} e^{y} = - x \sqrt{x^{2} + 1}$ の各項を $- y e^{y}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

$- y \frac{d y}{d x} e^{y} = - x \sqrt{x^{2} + 1}$ の各項を $- y e^{y}$ で割ります。

$\frac{- y \frac{d y}{d x} e^{y}}{- y e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

ステップ 1.1.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y \frac{d y}{d x} e^{y}}{y e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

ステップ 1.1.3.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d x} e^{y}}{y e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

ステップ 1.1.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{y}}{e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

ステップ 1.1.3.2.3

$e^{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{y}}{e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

ステップ 1.1.3.2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

ステップ 1.1.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{y e^{y}}$

ステップ 1.2

両辺に $y e^{y}$ を掛けます。

$y e^{y} \frac{d y}{d x} = y e^{y} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{y e^{y}}$

ステップ 1.3

$y e^{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$y e^{y} \frac{d y}{d x} = y e^{y} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{y e^{y}}$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$y e^{y} \frac{d y}{d x} = x \sqrt{x^{2} + 1}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$y e^{y} d y = x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y e^{y} d y = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = y$ と $d v = e^{y}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2.2

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2.3

簡約します。

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2.4

項を並べ替えます。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 2.3.1.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 2.3.4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ に書き換えます。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.3

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.3.2.3

式を書き換えます。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$e^{y} y - e^{y} = \frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

微分積分 例

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