微分積分例

$\frac{d s}{d t} = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12})$ , $s (0) = 3$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d s = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d s = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$s + C_{1} = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$8$ は $t$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

ステップ 2.3.2

$u_{1} = t - \frac{π}{12}$ とします。次に $d u_{1} = d t$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$u_{1} = t - \frac{π}{12}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$t - \frac{π}{12}$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t - \frac{π}{12}]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $t - \frac{π}{12}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$ です。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

ステップ 2.3.2.1.4

$- \frac{π}{12}$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- \frac{π}{12}$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 2.3.3

半角公式を利用して $\sin^{2} (u_{1})$ を $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ に書き換えます。

$s + C_{1} = 8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $8$ をまとめます。

$s + C_{1} = \frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 2.3.5.2

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 2.3.5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 2.3.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 2.3.5.2.2.3

式を書き換えます。

$s + C_{1} = \frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 2.3.5.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$s + C_{1} = 4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 2.3.6

単一積分を複数積分に分割します。

$s + C_{1} = 4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 2.3.7

定数の法則を当てはめます。

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 2.3.8

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 2.3.9

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = 2 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.9.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.9.1.1

$2 u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

ステップ 2.3.9.1.2

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 u_{1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 2.3.9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.3.9.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.3.9.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

ステップ 2.3.10

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

ステップ 2.3.11

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

ステップ 2.3.12

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{3}))$

ステップ 2.3.13

簡約します。

$s + C_{1} = 4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

ステップ 2.3.14

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.14.1

$u_{1}$ のすべての発生を $t - \frac{π}{12}$ で置き換えます。

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

ステップ 2.3.14.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 u_{1}$ で置き換えます。

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C_{4}$

ステップ 2.3.14.3

$u_{1}$ のすべての発生を $t - \frac{π}{12}$ で置き換えます。

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 (t - \frac{π}{12}))) + C_{4}$

ステップ 2.3.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.15.1

分配則を当てはめます。

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 (- \frac{π}{12}))) + C_{4}$

ステップ 2.3.15.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.15.2.1

$- \frac{π}{12}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{12})) + C_{4}$

ステップ 2.3.15.2.2

$2$ を $12$ で因数分解します。

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 (6)})) + C_{4}$

ステップ 2.3.15.2.3

共通因数を約分します。

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 \cdot 6})) + C_{4}$

ステップ 2.3.15.2.4

式を書き換えます。

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + \frac{- π}{6})) + C_{4}$

ステップ 2.3.15.3

分数の前に負数を移動させます。

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

ステップ 2.3.15.4

$\sin (2 t - \frac{π}{6})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

ステップ 2.3.15.5

分配則を当てはめます。

$s + C_{1} = 4 t + 4 (- \frac{π}{12}) + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

ステップ 2.3.15.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.15.6.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.15.6.1.1

$- \frac{π}{12}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{12} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

ステップ 2.3.15.6.1.2

$4$ を $12$ で因数分解します。

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 (3)} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

ステップ 2.3.15.6.1.3

共通因数を約分します。

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 \cdot 3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

ステップ 2.3.15.6.1.4

式を書き換えます。

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

ステップ 2.3.15.6.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.15.6.2.1

$- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.15.6.2.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (2) \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.15.6.2.3

共通因数を約分します。

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.15.6.2.4

式を書き換えます。

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (- \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

ステップ 2.3.15.6.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

ステップ 2.3.15.7

分数の前に負数を移動させます。

$s + C_{1} = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$ の $0$ を $t$ に、 $3$ を $s$ に代入し $K$ の値を求めます。

$3 = 4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 3$ として書き換えます。

$4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 3$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

$4$ に $0$ をかけます。

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 3$

ステップ 4.2.1.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (0 - \frac{π}{6}) + K = 3$

ステップ 4.2.1.1.3

$0$ から $\frac{π}{6}$ を引きます。

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (- \frac{π}{6}) + K = 3$

ステップ 4.2.1.1.4

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (\frac{11 π}{6}) + K = 3$

ステップ 4.2.1.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$0 - \frac{π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + K = 3$

ステップ 4.2.1.1.6

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$0 - \frac{π}{3} - 2 (- \frac{1}{2}) + K = 3$

ステップ 4.2.1.1.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1.7.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$0 - \frac{π}{3} - 2 (\frac{- 1}{2}) + K = 3$

ステップ 4.2.1.1.7.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$0 - \frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{- 1}{2} + K = 3$

ステップ 4.2.1.1.7.3

共通因数を約分します。

$0 - \frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + K = 3$

ステップ 4.2.1.1.7.4

式を書き換えます。

$0 - \frac{π}{3} - 1 \cdot - 1 + K = 3$

ステップ 4.2.1.1.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 - \frac{π}{3} + 1 + K = 3$

ステップ 4.2.1.2

$0$ から $\frac{π}{3}$ を引きます。

$- \frac{π}{3} + 1 + K = 3$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $\frac{π}{3}$ を足します。

$1 + K = 3 + \frac{π}{3}$

ステップ 4.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$K = 3 + \frac{π}{3} - 1$

ステップ 4.3.3

$3$ から $1$ を引きます。

$K = 2 + \frac{π}{3}$

ステップ 5

$2 + \frac{π}{3}$ を $s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$2 + \frac{π}{3}$ を $K$ に代入します。

$s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 2 + \frac{π}{3}$

ステップ 5.2

$4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 2 + \frac{π}{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.1

$- \frac{π}{3}$ と $\frac{π}{3}$ をたし算します。

$s = 4 t + 0 - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 2$

ステップ 5.2.2

$4 t$ と $0$ をたし算します。

$s = 4 t - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 2$

微分積分 例

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