微分積分例

$(e^{x} + 1) d x + \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(e^{x} + 1) d x$ を引きます。

$\frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = - (e^{x} + 1) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (y^{2} - 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

ステップ 2.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (y^{2} - 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int (y^{2} - 1) y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

ステップ 2.2.2

$(y^{2} - 1) y^{- 2}$ を掛けます。

$\int y^{2} y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

ステップ 2.2.3

簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

指数を足して $y^{2}$ に $y^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.3.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int y^{2 - 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

ステップ 2.2.3.1.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\int y^{0} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

ステップ 2.2.3.2

$y^{0}$ を簡約します。

$\int 1 - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

ステップ 2.2.3.3

$- 1 y^{- 2}$ を $- y^{- 2}$ に書き換えます。

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

ステップ 2.2.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

ステップ 2.2.5

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

ステップ 2.2.6

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

ステップ 2.2.7

べき乗則では、 $y^{- 2}$ の $y$ に関する積分は $- y^{- 1}$ です。

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int - (e^{x} + 1) d x$

ステップ 2.2.8

簡約します。

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ステップ 2.2.8.1

簡約します。

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

ステップ 2.2.8.2

簡約します。

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ステップ 2.2.8.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

ステップ 2.2.8.2.2

$\frac{1}{y}$ に $1$ をかけます。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - \int e^{x} + 1 d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (\int e^{x} d x + \int d x)$

ステップ 2.3.3

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + \int d x)$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + x + C_{5})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + x) + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y + \frac{1}{y} = - (e^{x} + x) + K$

微分積分 例

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