微分積分例

$(y - \frac{1}{y}) d x + (x + \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y - \frac{1}{y}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $y - \frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$f (y) = - 1$ および $g (y) = \frac{1}{y}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{y}$ を $y^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 1.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 1.3.4

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

ステップ 1.3.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

ステップ 1.3.6

$y^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

ステップ 1.3.7

$\frac{1}{y}$ に $0$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2} + 0$

ステップ 1.3.8

$y^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2}$

ステップ 1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{1}{y^{2}}$

ステップ 1.5

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{y^{2}} + 1$

ステップ 2

$N (x, y) = x + \frac{x}{y^{2}}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + \frac{x}{y^{2}}]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $x + \frac{x}{y^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{y^{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{y^{2}}$ の微分係数は $\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}} \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{y^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}}$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} + 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{y^{2}} + 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $\frac{1}{y^{2}} + 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{1}{y^{2}} + 1 = \frac{1}{y^{2}} + 1$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{y^{2}} + 1 = \frac{1}{y^{2}} + 1$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int y - \frac{1}{y} d x$

ステップ 5

$M (x, y) = y - \frac{1}{y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x + g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 8.2

総和則では、 $(y - \frac{1}{y}) x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $(y - \frac{1}{y}) x$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}]$ です。

$x \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 8.3.2

総和則では、 $y - \frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ です。

$x (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 8.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (1 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 8.3.4

$x (1 - \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 8.3.5

$\frac{1}{y}$ を $y^{- 1}$ に書き換えます。

$x (1 - \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 8.3.6

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 8.3.7

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x (1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 8.3.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (1 + 1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 8.3.9

$y^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$x (1 + y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 8.3.10

$\frac{1}{y}$ に $0$ をかけます。

$x (1 + y^{- 2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 8.3.11

$y^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$x (1 + y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 8.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x (1 + y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 8.5

簡約します。

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ステップ 8.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x (1 + \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 8.5.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot 1 + x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 8.5.3

項をまとめます。

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ステップ 8.5.3.1

$x$ に $1$ をかけます。

$x + x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 8.5.3.2

$x$ と $\frac{1}{y^{2}}$ をまとめます。

$x + \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 8.5.4

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} = x + \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 9.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x = \frac{x}{y^{2}}$

ステップ 9.1.2

方程式の両辺から $\frac{x}{y^{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x - \frac{x}{y^{2}} = 0$

ステップ 9.1.3

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x - \frac{x}{y^{2}}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.3.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} + 0 - \frac{x}{y^{2}} = 0$

ステップ 9.1.3.2

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} - \frac{x}{y^{2}} = 0$

ステップ 9.1.3.3

$\frac{x}{y^{2}}$ から $\frac{x}{y^{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

ステップ 9.1.3.4

$\frac{d g}{d y}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 0$

ステップ 10

$0$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 0 d y$

ステップ 10.3

$0$ の $y$ に関する積分は $0$ です。

$g (y) = 0 + C$

ステップ 10.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (y) = C$

ステップ 11

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + C$

ステップ 12

各項を簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = y x - \frac{1}{y} x + C$

ステップ 12.2

$x$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$f (x, y) = y x - \frac{x}{y} + C$

微分積分 例

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