微分積分例

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 6 x$

ステップ 1

$v = \frac{d y}{d x}$ とします。すると $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ です。 $v$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $\frac{d v}{d x}$ を $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ に代入し、従属変数 $v$ と独立変数 $x$ について微分方程式を得ます。

$x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$

ステップ 2

微分方程式を $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

ステップ 2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

ステップ 2.2.2

$\frac{d v}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

ステップ 2.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

ステップ 2.3.2

$6$ を $1$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = 6$

ステップ 2.4

$v$ を $\frac{2 v}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + v \frac{2}{x} = 6$

ステップ 2.5

$v$ と $\frac{2}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{2}{x} v = 6$

ステップ 3

$P (x) = \frac{2}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 3.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

ステップ 3.2

$\frac{2}{x}$ を積分します。

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ステップ 3.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{2 (\ln (| x |) + C_{1})}$

ステップ 3.2.3

簡約します。

$e^{2 \ln (| x |) + C_{1}}$

ステップ 3.3

積分定数を削除します。

$e^{2 \ln (x)}$

ステップ 3.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{2})}$

ステップ 3.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{2}$

ステップ 4

各項に積分因数 $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

各項に $x^{2}$ を掛けます。

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} v) = x^{2} \cdot 6$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{2}{x}$ と $v$ をまとめます。

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

ステップ 4.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

ステップ 4.2.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

ステップ 4.2.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x (2 v) = x^{2} \cdot 6$

ステップ 4.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = x^{2} \cdot 6$

ステップ 4.3

$6$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = 6 x^{2}$

ステップ 5

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{2} v] = 6 x^{2}$

ステップ 6

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} v] d x = \int 6 x^{2} d x$

ステップ 7

左辺を積分します。

$x^{2} v = \int 6 x^{2} d x$

ステップ 8

右辺を積分します。

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ステップ 8.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$x^{2} v = 6 \int x^{2} d x$

ステップ 8.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

ステップ 8.3

答えを簡約します。

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ステップ 8.3.1

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ を $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ に書き換えます。

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

ステップ 8.3.2

簡約します。

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ステップ 8.3.2.1

$6$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$x^{2} v = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 8.3.2.2

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 8.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

ステップ 8.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

ステップ 8.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} v = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

ステップ 8.3.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$

ステップ 9

$x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.1

$x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

ステップ 9.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

ステップ 9.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

ステップ 9.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.3.1

$x^{3}$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1.1

$x^{2}$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

ステップ 9.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1.2.1

$1$ を掛けます。

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

ステップ 9.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

ステップ 9.3.1.2.3

式を書き換えます。

$v = \frac{2 x}{1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

ステップ 9.3.1.2.4

$2 x$ を $1$ で割ります。

$v = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

ステップ 10

$v$ のすべての発生を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

ステップ 11

方程式を書き換えます。

$d y = (2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}) d x$

ステップ 12

両辺を積分します。

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ステップ 12.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

ステップ 12.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{3} = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

ステップ 12.3

右辺を積分します。

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ステップ 12.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

ステップ 12.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

ステップ 12.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

ステップ 12.3.4

$C_{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $C_{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 12.3.5

式を簡約します。

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ステップ 12.3.5.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 12.3.5.2

簡約します。

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ステップ 12.3.5.2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 12.3.5.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 12.3.5.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 12.3.5.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{- 2} d x$

ステップ 12.3.6

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} (- x^{- 1} + C_{5})$

ステップ 12.3.7

簡約します。

$y + C_{3} = x^{2} + C_{2} (- x^{- 1}) + C_{6}$

ステップ 12.3.8

項を並べ替えます。

$y + C_{3} = x^{2} - C_{2} x^{- 1} + C_{6}$

ステップ 12.4

右辺の積分定数を $D$ としてまとめます。

$y = x^{2} - C x^{- 1} + D$

微分積分 例

微分積分例