微分積分例

$\frac{d y}{d t} + 50 y = 0$

ステップ 1

$P (t) = 50$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int 50 d t}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{50 t + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{50 t}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{50 t}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{50 t}$ を掛けます。

$e^{50 t} \frac{d y}{d t} + e^{50 t} (50 y) = e^{50 t} \cdot 0$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{50 t} \frac{d y}{d t} + 50 e^{50 t} y = e^{50 t} \cdot 0$

ステップ 2.3

$e^{50 t}$ に $0$ をかけます。

$e^{50 t} \frac{d y}{d t} + 50 e^{50 t} y = 0$

ステップ 2.4

$e^{50 t} \frac{d y}{d t} + 50 e^{50 t} y = 0$ の因数を並べ替えます。

$e^{50 t} \frac{d y}{d t} + 50 y e^{50 t} = 0$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [e^{50 t} y] = 0$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [e^{50 t} y] d t = \int 0 d t$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{50 t} y = \int 0 d t$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$0$ の $t$ に関する積分は $0$ です。

$e^{50 t} y = 0 + C$

ステップ 6.2

$0$ と $C$ をたし算します。

$e^{50 t} y = C$

ステップ 7

$e^{50 t} y = C$ の各項を $e^{50 t}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{50 t} y = C$ の各項を $e^{50 t}$ で割ります。

$\frac{e^{50 t} y}{e^{50 t}} = \frac{C}{e^{50 t}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{50 t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{50 t} y}{e^{50 t}} = \frac{C}{e^{50 t}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{C}{e^{50 t}}$

微分積分 例

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