微分積分例

$2 \frac{d y}{d t} - y = 4 \sin (3 t)$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$2 \frac{d y}{d t} - y = 4 \sin (3 t)$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \frac{d y}{d t}}{2} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

ステップ 1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \frac{d y}{d t}}{2} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d t}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

ステップ 1.3

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2$ を $4 \sin (3 t)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2}$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2 (1)}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 \sin (3 t)}{1}$

ステップ 1.3.2.4

$2 \sin (3 t)$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = 2 \sin (3 t)$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$\frac{d y}{d t} + \frac{- 1}{2} y = 2 \sin (3 t)$

ステップ 2

$P (t) = \frac{- 1}{2}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{- 1}{2} d t}$

ステップ 2.2

$\frac{- 1}{2}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{\int - \frac{1}{2} d t}$

ステップ 2.2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{- \frac{1}{2} t + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- \frac{1}{2} t}$

ステップ 2.4

$t$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- \frac{t}{2}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{- \frac{t}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $e^{- \frac{t}{2}}$ を掛けます。

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{- \frac{t}{2}} (\frac{- 1}{2} y) = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{- 1}{2} e^{- \frac{t}{2}} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

ステップ 3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

ステップ 3.2.3

$e^{- \frac{t}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{e^{- \frac{t}{2}}}{2} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

ステップ 3.2.4

$y$ と $\frac{e^{- \frac{t}{2}}}{2}$ をまとめます。

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{y e^{- \frac{t}{2}}}{2} = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{y e^{- \frac{t}{2}}}{2} = 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t)$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{2}} y] = 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t)$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{2}} y] d t = \int 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{- \frac{t}{2}} y = \int 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

ステップ 7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

ステップ 7.2

$u = - \frac{t}{2}$ とします。次に $d u = - \frac{1}{2} d t$ すると、 $- 2 d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$u = - \frac{t}{2}$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- \frac{t}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{2}]$

ステップ 7.2.1.2

$- \frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \frac{t}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 7.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 7.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 7.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (3 (- 2 u)) \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 7.3.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 7.3.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) (1 \cdot 2) d u$

ステップ 7.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \cdot 2 d u$

ステップ 7.3.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - 2 e^{u} \sin (- 6 u) d u$

ステップ 7.4

$- 2$ は $u$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 (- 2 \int e^{u} \sin (- 6 u) d u)$

ステップ 7.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \int e^{u} \sin (- 6 u) d u$

ステップ 7.5.2

$e^{u}$ と $\sin (- 6 u)$ を並べ替えます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \int \sin (- 6 u) e^{u} d u$

ステップ 7.6

$w = \sin (- 6 u)$ と $dv = e^{u}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} - \int e^{u} (- 6 \cos (- 6 u)) d u)$

ステップ 7.7

$- 6$ は $u$ に対して定数なので、 $- 6$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} - (- 6 \int e^{u} (\cos (- 6 u)) d u))$

ステップ 7.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \int e^{u} (\cos (- 6 u)) d u)$

ステップ 7.8.2

$e^{u}$ と $\cos (- 6 u)$ を並べ替えます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \int \cos (- 6 u) e^{u} d u)$

ステップ 7.9

$w = \cos (- 6 u)$ と $dv = e^{u}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - \int e^{u} (6 \sin (- 6 u)) d u))$

ステップ 7.10

$6$ は $u$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - (6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u)))$

ステップ 7.11

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.11.1

$6$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - 6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u))$

ステップ 7.11.2

分配則を当てはめます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u}) + 6 (- 6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u))$

ステップ 7.11.3

$- 6$ に $6$ をかけます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u}) - 36 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u)$

ステップ 7.12

$\int e^{u} \sin (- 6 u) d u$ を解くと、 $\int e^{u} \sin (- 6 u) d u$ = $\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u})}{37}$ であることが分かります。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u})}{37} + C)$

ステップ 7.13

$- 4 (\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \cos (- 6 u) e^{u}}{37} + C)$ を $- 4 \frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$ に書き換えます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$

ステップ 7.14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.14.1

$- 4$ と $\frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37}$ をまとめます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = \frac{- 4 (e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u)))}{37} + C$

ステップ 7.14.2

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$

ステップ 7.15

$u$ のすべての発生を $- \frac{t}{2}$ で置き換えます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (- 6 (- \frac{t}{2})) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

ステップ 7.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.16.1

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (6 \frac{t}{2}) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

ステップ 7.16.2

$6$ と $\frac{t}{2}$ をまとめます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

ステップ 7.16.3

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (6 \frac{t}{2}))}{37} + C$

ステップ 7.16.4

$6$ と $\frac{t}{2}$ をまとめます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

ステップ 7.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.17.1

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.17.1.1

$2$ を $6 t$ で因数分解します。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

ステップ 7.17.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.17.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2 (1)}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

ステップ 7.17.1.2.2

共通因数を約分します。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2 \cdot 1}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

ステップ 7.17.1.2.3

式を書き換えます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{3 t}{1}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

ステップ 7.17.1.2.4

$3 t$ を $1$ で割ります。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

ステップ 7.17.2

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.17.2.1

$2$ を $6 t$ で因数分解します。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2}))}{37} + C$

ステップ 7.17.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.17.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2 (1)}))}{37} + C$

ステップ 7.17.2.2.2

共通因数を約分します。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2 \cdot 1}))}{37} + C$

ステップ 7.17.2.2.3

式を書き換えます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{3 t}{1}))}{37} + C$

ステップ 7.17.2.2.4

$3 t$ を $1$ で割ります。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + C$

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4}{37} e^{- \frac{1}{2} t} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$t$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4}{37} \cdot (e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))) + C$

ステップ 8.1.2

$e^{- \frac{t}{2}}$ と $\frac{4}{37}$ をまとめます。

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$

ステップ 8.2

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$ の各項を $e^{- \frac{t}{2}}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$ の各項を $e^{- \frac{t}{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{- \frac{t}{2}} y}{e^{- \frac{t}{2}}} = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

ステップ 8.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$e^{- \frac{t}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- \frac{t}{2}} y}{e^{- \frac{t}{2}}} = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

ステップ 8.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

ステップ 8.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1.1

$4$ を $e^{- \frac{t}{2}}$ の左に移動させます。

$y = \frac{- \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

ステップ 8.2.3.1.2

$\frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37}$ を $\frac{- \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} \cdot \frac{- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

ステップ 8.2.3.1.3

まとめる。

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37 e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

ステップ 8.2.3.1.4

$e^{- \frac{t}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37 e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

ステップ 8.2.3.1.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{4 (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

ステップ 8.2.3.1.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{- 4 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

ステップ 8.2.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{4 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例