微分積分例

$(x^{2} + 1) (y^{3} - 1) d x = x^{2} y^{2} d y$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$x^{2} y^{2} d y = (x^{2} + 1) (y^{3} - 1) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x^{2}$ を $x^{2} y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{3} - 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{y^{3} - 1}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{y^{3} - 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

ステップ 3.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{y^{2}}{y^{3} - 1^{3}} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

ステップ 3.3.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2})} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

ステップ 3.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1^{2})} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

ステップ 3.3.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

ステップ 3.4

$y^{3} - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$y^{3} - 1$ を $x^{2} (y^{3} - 1)$ で因数分解します。

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

ステップ 3.4.2

$y^{3} - 1$ を $(x^{2} + 1) (y^{3} - 1)$ で因数分解します。

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((y^{3} - 1) (x^{2} + 1)) d x$

ステップ 3.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((y^{3} - 1) (x^{2} + 1)) d x$

ステップ 3.4.4

式を書き換えます。

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

ステップ 3.5

$\frac{1}{x^{2}}$ に $x^{2} + 1$ をかけます。

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$u = (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ とします。次に $d u = 3 y^{2} d y$ すると、 $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$u = (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

$(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [(y - 1) (y^{2} + y + 1)]$

ステップ 4.2.1.1.2

$f (y) = y - 1$ および $g (y) = y^{2} + y + 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 1] + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 4.2.1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.3.1

総和則では、 $y^{2} + y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$(y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(y - 1) (2 y + 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(y - 1) (2 y + 1 + 0) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.5

$2 y + 1$ と $0$ をたし算します。

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.6

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1])$

ステップ 4.2.1.1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1])$

ステップ 4.2.1.1.3.8

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (1 + 0)$

ステップ 4.2.1.1.3.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.3.9.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \cdot 1$

ステップ 4.2.1.1.3.9.2

$y^{2} + y + 1$ に $1$ をかけます。

$(y - 1) (2 y + 1) + y^{2} + y + 1$

ステップ 4.2.1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$(y - 1) (2 y) + (y - 1) \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

ステップ 4.2.1.1.4.2

分配則を当てはめます。

$y (2 y) - 1 (2 y) + (y - 1) \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

ステップ 4.2.1.1.4.3

分配則を当てはめます。

$y (2 y) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

ステップ 4.2.1.1.4.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.4.4.1

$y$ を $1$ 乗します。

$2 (y^{1} y) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

ステップ 4.2.1.1.4.4.2

$y$ を $1$ 乗します。

$2 (y^{1} y^{1}) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

ステップ 4.2.1.1.4.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 y^{1 + 1} - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

ステップ 4.2.1.1.4.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 y^{2} - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

ステップ 4.2.1.1.4.4.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 y^{2} - 2 y + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

ステップ 4.2.1.1.4.4.6

$y$ に $1$ をかけます。

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

ステップ 4.2.1.1.4.4.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 + y^{2} + y + 1$

ステップ 4.2.1.1.4.4.8

$- 2 y$ と $y$ をたし算します。

$2 y^{2} - y - 1 + y^{2} + y + 1$

ステップ 4.2.1.1.4.4.9

$2 y^{2}$ と $y^{2}$ をたし算します。

$3 y^{2} - y - 1 + y + 1$

ステップ 4.2.1.1.4.4.10

$- y$ と $y$ をたし算します。

$3 y^{2} + 0 - 1 + 1$

ステップ 4.2.1.1.4.4.11

$3 y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 y^{2} - 1 + 1$

ステップ 4.2.1.1.4.4.12

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$3 y^{2} + 0$

ステップ 4.2.1.1.4.4.13

$3 y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 y^{2}$

ステップ 4.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.2.2

$3$ を $u$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.5

簡約します。

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.6

$u$ のすべての発生を $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 4.3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 4.3.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.2

$(x^{2} + 1) x^{- 2}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.3.1.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{0} + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.3.2

$x^{0}$ を簡約します。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int 1 + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.3.3

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int 1 + x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int d x + \int x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.5

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x + C_{2} + \int x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.6

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x + C_{2} - x^{- 1} + C_{3}$

ステップ 4.3.7

簡約します。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x - \frac{1}{x} + C_{4}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) = x - \frac{1}{x} + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

ステップ 5.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ を展開します。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot 1 - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

ステップ 5.2.1.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1

$y \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot 1 - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1.1

$y \cdot 1$ と $- 1 y$ について因数を並べ替えます。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y + 1 y - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.1.2

$1 y$ から $1 y$ を引きます。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} + 0 - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.1.3

$y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.2.1

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.2.1.1

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.2.1.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{1} y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{1 + 2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.2.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.2.3

$- 1 y^{2}$ を $- y^{2}$ に書き換えます。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.3.1

$y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.3.1.1

$y^{2}$ から $y^{2}$ を引きます。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + 0 - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.3.1.2

$y^{3}$ と $0$ をたし算します。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.3.2

$\frac{1}{3}$ と $\ln (| y^{3} - 1 |)$ をまとめます。

$3 \frac{\ln (| y^{3} - 1 |)}{3} = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.3.3.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{\ln (| y^{3} - 1 |)}{3} = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.3.3.2

式を書き換えます。

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$3 (x - \frac{1}{x} + C)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x + 3 (- \frac{1}{x}) + 3 C$

ステップ 5.2.2.1.2

$3 (- \frac{1}{x})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - 3 \frac{1}{x} + 3 C$

ステップ 5.2.2.1.2.2

$- 3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x + \frac{- 3}{x} + 3 C$

ステップ 5.2.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - \frac{3}{x} + 3 C$

ステップ 5.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y^{3} - 1 |)} = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

ステップ 5.4

対数の定義を利用して $\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - \frac{3}{x} + 3 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} = | y^{3} - 1 |$

ステップ 5.5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.5.1

方程式を $| y^{3} - 1 | = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$ として書き換えます。

$| y^{3} - 1 | = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

ステップ 5.5.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y^{3} - 1 = \pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

ステップ 5.5.3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y^{3} = \pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} + 1$

ステップ 5.5.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} + 1}$

ステップ 5.5.5

各項を簡約します。

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ステップ 5.5.5.1

$3 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 x \cdot x}{x} - \frac{3}{x} + 3 C} + 1}$

ステップ 5.5.5.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 x \cdot x - 3}{x} + 3 C} + 1}$

ステップ 5.5.5.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.5.3.1

$3$ を $3 x \cdot x - 3$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.5.3.1.1

$3$ を $3 x \cdot x$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x) - 3}{x} + 3 C} + 1}$

ステップ 5.5.5.3.1.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x) + 3 (- 1)}{x} + 3 C} + 1}$

ステップ 5.5.5.3.1.3

$3$ を $3 (x \cdot x) + 3 (- 1)$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

ステップ 5.5.5.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1} x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

ステップ 5.5.5.3.3

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1} x^{1} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

ステップ 5.5.5.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1 + 1} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

ステップ 5.5.5.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

ステップ 5.5.5.3.6

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{x} + 3 C} + 1}$

ステップ 5.5.5.3.7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

ステップ 5.5.5.4

$3 C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{3 C x}{x}} + 1}$

ステップ 5.5.5.5

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1) + 3 C x}{x}} + 1}$

ステップ 5.5.5.6

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.5.6.1

$3$ を $3 (x + 1) (x - 1) + 3 C x$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.5.6.1.1

$3$ を $3 (x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 C x}{x}} + 1}$

ステップ 5.5.5.6.1.2

$3$ を $3 C x$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 (C x)}{x}} + 1}$

ステップ 5.5.5.6.1.3

$3$ を $3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 (C x)$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

ステップ 5.5.5.6.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 5.5.5.6.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x (x - 1) + 1 (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

ステップ 5.5.5.6.2.2

分配則を当てはめます。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

ステップ 5.5.5.6.2.3

分配則を当てはめます。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

ステップ 5.5.5.6.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.5.5.6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.5.5.6.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

ステップ 5.5.5.6.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

ステップ 5.5.5.6.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

ステップ 5.5.5.6.3.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

ステップ 5.5.5.6.3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + x - 1 + C x)}{x}} + 1}$

ステップ 5.5.5.6.3.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} + 0 - 1 + C x)}{x}} + 1}$

ステップ 5.5.5.6.3.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1 + C x)}{x}} + 1}$

微分積分 例

微分積分例