微分積分例

$\ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{x}{y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

ステップ 1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{y}$

ステップ 1.3

不要な括弧を削除します。

$\frac{1}{x} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{x} \ln (x) d x = \frac{1}{y} d y$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{x} \ln (x) d x = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\int \frac{\ln (x)}{x} d x = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 2.2.2

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.2.2.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u d u = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 2.2.4

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 2.3

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) = \ln (| y |) + C$

微分積分 例

微分積分例