微分積分例

$\frac{d y}{d x} = - 6 x^{5} e^{- x^{6}}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = - 6 x^{5} e^{- x^{6}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int - 6 x^{5} e^{- x^{6}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int - 6 x^{5} e^{- x^{6}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $- 6$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - 6 \int x^{5} e^{- x^{6}} d x$

ステップ 2.3.2

$u_{1} = x^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$u_{1} = x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 2.3.2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = - 6 \int {\sqrt{u_{1}}}^{4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ を ${u_{1}}^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = - 6 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{4}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{2}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.2

${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ を ${u_{1}}^{3}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.2.4

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.2.4.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.2.4.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.3

$\frac{1}{2}$ と ${u_{1}}^{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = - 6 \int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.4

$\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ と $e^{- {u_{1}}^{3}}$ をまとめます。

$y + C_{1} = - 6 \int \frac{{u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}}}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - 6 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $- 6$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{- 6}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

ステップ 2.3.5.2

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

ステップ 2.3.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

ステップ 2.3.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

ステップ 2.3.5.2.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{- 3}{1} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

ステップ 2.3.5.2.2.4

$- 3$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = - 3 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

ステップ 2.3.6

$u_{2} = - {u_{1}}^{3}$ とします。次に $d u_{2} = - 3 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ すると、 $- \frac{1}{3} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.6.1

$u_{2} = - {u_{1}}^{3}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 2.3.6.1.1

$- {u_{1}}^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{3}]$

ステップ 2.3.6.1.2

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $- {u_{1}}^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$ です。

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

ステップ 2.3.6.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (3 {u_{1}}^{2})$

ステップ 2.3.6.1.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 {u_{1}}^{2}$

ステップ 2.3.6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = - 3 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

ステップ 2.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = - 3 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

ステップ 2.3.7.2

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = - 3 \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

ステップ 2.3.8

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - 3 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2})$

ステップ 2.3.9

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$y + C_{1} = 3 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

ステップ 2.3.10

$\frac{1}{3}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 2.3.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.11.1

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.11.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.11.2.1

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.11.2.2

式を書き換えます。

$y + C_{1} = 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.11.3

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.12

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$y + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.13

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.13.1

$u_{2}$ のすべての発生を $- {u_{1}}^{3}$ で置き換えます。

$y + C_{1} = e^{- {u_{1}}^{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.13.2

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$y + C_{1} = e^{- {(x^{2})}^{3}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = e^{- {(x^{2})}^{3}} + K$

微分積分 例

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