微分積分例

$(- 2 y^{3} + 1) d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = - 2 y^{3} + 1$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} + 1]$

ステップ 1.2

総和則では、 $- 2 y^{3} + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 y^{3}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + 0$

ステップ 1.4.2

$- 6 y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2}$

ステップ 2

$N (x, y) = 3 x y^{2} + x^{3}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + x^{3}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $3 x y^{2} + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$3 y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x y^{2}$ の微分係数は $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 3 x^{2}$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$- 6 y^{2}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $3 x^{2} + 3 y^{2}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 6 y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$- 6 y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$- 6 y^{2}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- 6 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$3 x^{2} + 3 y^{2}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2} + 3 y^{2})}{N}$

ステップ 4.3

$3 x y^{2} + x^{3}$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$3 x y^{2} + x^{3}$ を $N$ に代入します。

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2} + 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2}) - (3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

ステップ 4.3.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 6 y^{2} - 3 x^{2} - (3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

ステップ 4.3.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 6 y^{2} - 3 x^{2} - 3 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

ステップ 4.3.2.4

$- 6 y^{2}$ から $3 y^{2}$ を引きます。

$\frac{- 3 x^{2} - 9 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

ステップ 4.3.2.5

$3$ を $- 3 x^{2} - 9 y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2}) - 9 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

ステップ 4.3.2.5.2

$3$ を $- 9 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

ステップ 4.3.2.5.3

$3$ を $3 (- x^{2}) + 3 (- 3 y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

ステップ 4.3.3

$x$ を $3 x y^{2} + x^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$x$ を $3 x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2}) + x^{3}}$

ステップ 4.3.3.2

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}}$

ステップ 4.3.3.3

$x$ を $x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

ステップ 4.3.4

$- x^{2} - 3 y^{2}$ と $3 y^{2} + x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (x^{2}) - 3 y^{2})}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

ステップ 4.3.4.2

$- 1$ を $- 3 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (x^{2}) - (3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

ステップ 4.3.4.3

$- 1$ を $- (x^{2}) - (3 y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

ステップ 4.3.4.4

$- (x^{2} + 3 y^{2})$ を $- 1 (x^{2} + 3 y^{2})$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

ステップ 4.3.4.5

項を並べ替えます。

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (x^{2} + 3 y^{2})}$

ステップ 4.3.4.6

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (x^{2} + 3 y^{2})}$

ステップ 4.3.4.7

式を書き換えます。

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

ステップ 4.3.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 3}{x}$

ステップ 4.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{x}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

ステップ 5.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 5.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

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ステップ 5.6.1

対数の中の $- 3$ を移動させて $- 3 \ln (| x |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

ステップ 5.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

ステップ 6

$(- 2 y^{3} + 1) d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{x^{3}}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$- 2 y^{3} + 1$ に $\frac{1}{x^{3}}$ をかけます。

$(- 2 y^{3} + 1) \frac{1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

ステップ 6.2

$- 2 y^{3} + 1$ に $\frac{1}{x^{3}}$ をかけます。

$\frac{- 2 y^{3} + 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

ステップ 6.3

$- 1$ を $- 2 y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{- (2 y^{3}) + 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

ステップ 6.4

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (2 y^{3}) - 1 (- 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

ステップ 6.5

$- 1$ を $- (2 y^{3}) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 y^{3} - 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

ステップ 6.6

$- (2 y^{3} - 1)$ を $- 1 (2 y^{3} - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 y^{3} - 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

ステップ 6.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

ステップ 6.8

$3 x y^{2} + x^{3}$ に $\frac{1}{x^{3}}$ をかけます。

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 6.9

$3 x y^{2} + x^{3}$ に $\frac{1}{x^{3}}$ をかけます。

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{3 x y^{2} + x^{3}}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 6.10

$x$ を $3 x y^{2} + x^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.10.1

$x$ を $3 x y^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2}) + x^{3}}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 6.10.2

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 6.10.3

$x$ を $x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 6.11

共通因数を約分します。

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ステップ 6.11.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.11.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.11.3

式を書き換えます。

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{x^{2}}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{x^{2}}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int 3 y^{2} + x^{2} d y$

ステップ 8.2

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int 3 y^{2} d y + \int x^{2} d y)$

ステップ 8.3

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 \int y^{2} d y + \int x^{2} d y)$

ステップ 8.4

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int x^{2} d y)$

ステップ 8.5

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + x^{2} y + C)$

ステップ 8.6

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{y^{3}}{3} + C) + x^{2} y + C)$

ステップ 8.7

簡約します。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)]$ の値を求めます。

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ステップ 11.3.1

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ および $g (x) = y^{3} + x^{2} y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + x^{2} y] + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.2

総和則では、 $y^{3} + x^{2} y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ です。

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.3

$y^{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.4

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{2} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.6

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.7

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.7.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.7.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.9

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{1}{x^{2}} (0 + 2 \cdot y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.10

$0$ と $2 y x$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2}} (2 y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.11

$2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{x^{2}} (y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.12

$y$ と $\frac{2}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{y \cdot 2}{x^{2}} x + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.13

$\frac{y \cdot 2}{x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{y \cdot 2 x}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.14

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot y x}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.15

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.15.1

$x$ を $2 y x$ で因数分解します。

$\frac{x (2 y)}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.15.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.15.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (2 y)}{x \cdot x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.15.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (2 y)}{x \cdot x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.15.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.16

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.16.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.16.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.17

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.18

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.19

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.20

$1$ から $4$ を引きます。

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.21

$(y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{2 y}{x} + \frac{(y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) x}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.22

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) x}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.23

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 (x^{1} x^{- 3}))}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.24

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{1 - 3})}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.3.25

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 2})}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 2})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 y + y^{3} (- 2 \frac{1}{x^{2}}) + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 y + y^{3} \frac{- 2}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2 y + y^{3} (- \frac{2}{x^{2}}) + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.3

$y^{3}$ と $\frac{2}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 y - \frac{y^{3} \cdot 2}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.4

$2$ を $y^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{2 y - \frac{2 \cdot y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.5

$- 2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y \frac{- 2}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y (- \frac{2}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.7

$x^{2}$ と $\frac{2}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + y (- \frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.8

$y$ と $\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{y (x^{2} \cdot 2)}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.9

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{y (2 \cdot x^{2})}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.10

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{2 \cdot y x^{2}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.11

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.11.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{2 y x^{2}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.11.2

$2 y$ を $1$ で割ります。

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - (2 y)}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.12

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - 2 y}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.13

$2 y$ から $2 y$ を引きます。

$\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + 0}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.14

$- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.15

$\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}}{x}$ を積として書き換えます。

$- \frac{2 y^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.16

$\frac{1}{x}$ に $\frac{2 y^{3}}{x^{2}}$ をかけます。

$- \frac{2 y^{3}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.17

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.17.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.17.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 y^{3}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.17.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 y^{3}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.17.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{2 y^{3}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 11.5.4

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1

方程式の両辺に $\frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$ を足します。

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} + \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{3} + 2 y^{3} - 1}{x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.3

$- 2 y^{3}$ と $2 y^{3}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - 1}{x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.4

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{3}} = 0$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺に $\frac{1}{x^{3}}$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 13

$\frac{1}{x^{3}}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

ステップ 13.3

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$g (x) = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

ステップ 13.4

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$g (x) = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

ステップ 13.4.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$g (x) = \int x^{- 3} d x$

ステップ 13.5

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

ステップ 13.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.6.1

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$ を $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$ に書き換えます。

$g (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

ステップ 13.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.6.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$g (x) = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C$

ステップ 13.6.2.2

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$g (x) = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} + C$

ステップ 13.6.2.3

$2$ に $x^{2}$ をかけます。

$g (x) = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) - \frac{1}{2 x^{2}} + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

$\frac{1}{x^{2}}$ に $y^{3} + x^{2} y$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{y^{3} + x^{2} y}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 15.1.2

$y$ を $y^{3} + x^{2} y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.2.1

$y$ を $y^{3}$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{y \cdot y^{2} + x^{2} y}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 15.1.2.2

$y$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{y \cdot y^{2} + y x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 15.1.2.3

$y$ を $y \cdot y^{2} + y x^{2}$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 15.2

$\frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 15.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 x^{2}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.3.1

$\frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2}{x^{2} \cdot 2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 15.3.2

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 15.4

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 15.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.5.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{(y \cdot y^{2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 15.5.2

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.5.2.1

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.5.2.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$f (x, y) = \frac{(y^{1} y^{2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 15.5.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x, y) = \frac{(y^{1 + 2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 15.5.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (x, y) = \frac{(y^{3} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 15.5.3

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{y^{3} \cdot 2 + y x^{2} \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 15.5.4

$2$ を $y^{3}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{3} + y x^{2} \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 15.5.5

$2$ を $y x^{2}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{3} + 2 \cdot (y x^{2}) - 1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 15.5.6

括弧を削除します。

$f (x, y) = \frac{2 y^{3} + 2 y x^{2} - 1}{2 x^{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例