微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 4 x - 4}{2 y - 4}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $2 y - 4$ を掛けます。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + 4 x - 4}{2 y - 4}$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

群による因数分解。

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ステップ 1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ で和が $b = 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.2.1.1.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + 4 (x) - 4}{2 y - 4}$

ステップ 1.2.1.1.2

$4$ を $- 2$ プラス $6$ に書き換える

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + (- 2 + 6) x - 4}{2 y - 4}$

ステップ 1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} - 2 x + 6 x - 4}{2 y - 4}$

ステップ 1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x^{2} - 2 x) + 6 x - 4}{2 y - 4}$

ステップ 1.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{x (3 x - 2) + 2 (3 x - 2)}{2 y - 4}$

ステップ 1.2.1.3

最大公約数 $3 x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 y - 4}$

ステップ 1.2.2

$2$ を $2 y - 4$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y) - 4}$

ステップ 1.2.2.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 y + 2 \cdot - 2}$

ステップ 1.2.2.3

$2$ を $2 y + 2 \cdot - 2$ で因数分解します。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y - 2)}$

ステップ 1.2.3

$2 y - 4$ に $\frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y - 2)}$ をかけます。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 y - 4) ((3 x - 2) (x + 2))}{2 (y - 2)}$

ステップ 1.2.4

$2 y - 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.1

$2$ を $(2 y - 4) ((3 x - 2) (x + 2))$ で因数分解します。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 2) ((3 x - 2) (x + 2)))}{2 (y - 2)}$

ステップ 1.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1

共通因数を約分します。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 2) ((3 x - 2) (x + 2)))}{2 (y - 2)}$

ステップ 1.2.4.2.2

式を書き換えます。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 2) ((3 x - 2) (x + 2))}{y - 2}$

ステップ 1.2.5

$y - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.1

共通因数を約分します。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 2) ((3 x - 2) (x + 2))}{y - 2}$

ステップ 1.2.5.2

$(3 x - 2) (x + 2)$ を $1$ で割ります。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (3 x - 2) (x + 2)$

ステップ 1.2.6

分配法則（FOIL法）を使って $(3 x - 2) (x + 2)$ を展開します。

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ステップ 1.2.6.1

分配則を当てはめます。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x (x + 2) - 2 (x + 2)$

ステップ 1.2.6.2

分配則を当てはめます。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 - 2 (x + 2)$

ステップ 1.2.6.3

分配則を当てはめます。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

ステップ 1.2.7

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.2.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.7.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.2.7.1.1.1

$x$ を移動させます。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

ステップ 1.2.7.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

ステップ 1.2.7.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 6 x - 2 x - 2 \cdot 2$

ステップ 1.2.7.1.3

$- 2$ に $2$ をかけます。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 6 x - 2 x - 4$

ステップ 1.2.7.2

$6 x$ から $2 x$ を引きます。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 4 x - 4$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$(2 y - 4) d y = (3 x^{2} + 4 x - 4) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 2 y - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 y d y + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

ステップ 2.2.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int y d y + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

ステップ 2.2.4

定数の法則を当てはめます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

ステップ 2.2.5.2

簡約します。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

ステップ 2.3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

ステップ 2.3.4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 \int x d x + \int - 4 d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int - 4 d x$

ステップ 2.3.6

定数の法則を当てはめます。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

ステップ 2.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

ステップ 2.3.7.1.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + C_{7}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y^{2} - 4 y = x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.1.1

方程式の両辺から $x^{3}$ を引きます。

$y^{2} - 4 y - x^{3} = 2 x^{2} - 4 x + K$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $2 x^{2}$ を引きます。

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} = - 4 x + K$

ステップ 3.1.3

方程式の両辺に $4 x$ を足します。

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x = K$

ステップ 3.1.4

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K = 0$

ステップ 3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.3

$a = 1$ 、 $b = - 4$ 、および $c = - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.1.2

$- 4$ を $- 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.1.3

$- 4$ を $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.2

$- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.3

$- 4 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ を $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.1.3.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.3.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.3.4

括弧を付けます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2}$

ステップ 3.4.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2}$ を簡約します。

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

ステップ 3.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + K)}$

微分積分 例

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