微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x - 5} y = {(x - 5)}^{2}$

ステップ 1

$P (x) = \frac{1}{x - 5}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{1}{x - 5} d x}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x - 5}$ を積分します。

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ステップ 1.2.1

$u = x - 5$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.2.1.1

$u = x - 5$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.2.1.1.1

$x - 5$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

ステップ 1.2.1.1.2

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 1.2.1.1.4

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$e^{\ln (| u |) + C}$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$e^{\ln (| x - 5 |) + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln (x - 5)}$

ステップ 1.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x - 5$

ステップ 2

各項に積分因数 $x - 5$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $x - 5$ を掛けます。

$(x - 5) \frac{d y}{d x} + (x - 5) (\frac{1}{x - 5} y) = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + (x - 5) (\frac{1}{x - 5} y) = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x - 5}$ と $y$ をまとめます。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + (x - 5) \frac{y}{x - 5} = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

ステップ 2.2.3

$x - 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

共通因数を約分します。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + (x - 5) \frac{y}{x - 5} = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

ステップ 2.2.3.2

式を書き換えます。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

ステップ 2.3

指数を足して $x - 5$ に ${(x - 5)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1

$x - 5$ に ${(x - 5)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 2.3.1.1

$x - 5$ を $1$ 乗します。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = {(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{2}$

ステップ 2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = {(x - 5)}^{1 + 2}$

ステップ 2.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = {(x - 5)}^{3}$

ステップ 2.4

二項定理を利用します。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 5 + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

ステップ 2.5

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$- 5$ に $3$ をかけます。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

ステップ 2.5.2

$- 5$ を $2$ 乗します。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

ステップ 2.5.3

$25$ に $3$ をかけます。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}$

ステップ 2.5.4

$- 5$ を $3$ 乗します。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(x - 5) y] = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [(x - 5) y] d x = \int x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125 d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$(x - 5) y = \int x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125 d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

単一積分を複数積分に分割します。

$(x - 5) y = \int x^{3} d x + \int - 15 x^{2} d x + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

ステップ 6.2

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 15 x^{2} d x + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

ステップ 6.3

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $- 15$ を積分の外に移動させます。

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 \int x^{2} d x + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

ステップ 6.4

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

ステップ 6.5

$75$ は $x$ に対して定数なので、 $75$ を積分の外に移動させます。

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 75 \int x d x + \int - 125 d x$

ステップ 6.6

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 75 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 125 d x$

ステップ 6.7

定数の法則を当てはめます。

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 75 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 125 x + C$

ステップ 6.8

簡約します。

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ステップ 6.8.1

簡約します。

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ステップ 6.8.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 75 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 125 x + C$

ステップ 6.8.1.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 75 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 125 x + C$

ステップ 6.8.2

簡約します。

$(x - 5) y = \frac{x^{4}}{4} - 5 x^{3} + \frac{75 x^{2}}{2} - 125 x + C$

ステップ 6.8.3

項を並べ替えます。

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2} - 125 x + C$

ステップ 7

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2} - 125 x + C$ の各項を $x - 5$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2} - 125 x + C$ の各項を $x - 5$ で割ります。

$\frac{(x - 5) y}{x - 5} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$x - 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 5) y}{x - 5} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x^{4}}{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.1.3

$\frac{x^{4}}{4}$ に $\frac{1}{x - 5}$ をかけます。

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.1.5

$\frac{75}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75 x^{2}}{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.1.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{75 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.1.7

$\frac{75 x^{2}}{2}$ に $\frac{1}{x - 5}$ をかけます。

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.2

$- \frac{5 x^{3}}{x - 5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4 (x - 5)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.3.3.1

$\frac{5 x^{3}}{x - 5}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3} \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.3.2

$(x - 5) \cdot 4$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3} \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x^{4} - 5 x^{3} \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.5.1

$x^{3}$ を $x^{4} - 5 x^{3} \cdot 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.5.1.1

$x^{3}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{3} x - 5 x^{3} \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.5.1.2

$x^{3}$ を $- 5 x^{3} \cdot 4$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{3} x + x^{3} (- 5 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.5.1.3

$x^{3}$ を $x^{3} x + x^{3} (- 5 \cdot 4)$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{3} (x - 5 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.5.2

$- 5$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.6

$\frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} \cdot \frac{2}{2} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4 (x - 5)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.3.7.1

$\frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2} \cdot 2}{2 (x - 5) \cdot 2} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2} \cdot 2}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.8

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x^{3} (x - 20) + 75 x^{2} \cdot 2}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.9.1

$x^{2}$ を $x^{3} (x - 20) + 75 x^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.9.1.1

$x^{2}$ を $x^{3} (x - 20)$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2} (x (x - 20)) + 75 x^{2} \cdot 2}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.9.1.2

$x^{2}$ を $75 x^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2} (x (x - 20)) + x^{2} (75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.9.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} (x (x - 20)) + x^{2} (75 \cdot 2)$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2} (x (x - 20) + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.9.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 20 + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.9.3

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{x^{2} (x^{2} + x \cdot - 20 + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.9.4

$- 20$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 \cdot x + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.9.5

$75$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.10

$- \frac{125 x}{x - 5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.11

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4 (x - 5)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.11.1

$\frac{125 x}{x - 5}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.11.2

$(x - 5) \cdot 4$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.12

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150) - 125 x \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.13

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.13.1

$x$ を $x^{2} (x^{2} - 20 x + 150) - 125 x \cdot 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.13.1.1

$x$ を $x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)$ で因数分解します。

$y = \frac{x (x (x^{2} - 20 x + 150)) - 125 x \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.13.1.2

$x$ を $- 125 x \cdot 4$ で因数分解します。

$y = \frac{x (x (x^{2} - 20 x + 150)) + x (- 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.13.1.3

$x$ を $x (x (x^{2} - 20 x + 150)) + x (- 125 \cdot 4)$ で因数分解します。

$y = \frac{x (x (x^{2} - 20 x + 150) - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.13.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x (x \cdot x^{2} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.13.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.13.3.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.13.3.1.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.13.3.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x (x^{1} x^{2} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.13.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x (x^{1 + 2} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.13.3.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{x (x^{3} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.13.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x \cdot x + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.13.3.3

$150$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x \cdot x + 150 \cdot x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.13.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.13.4.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{x (x^{3} - 20 (x \cdot x) + 150 \cdot x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.13.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x^{2} + 150 \cdot x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.13.5

$- 125$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.13.6

有理根検定を用いて $x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.13.6.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 500, \pm 2, \pm 250, \pm 4, \pm 125, \pm 5, \pm 100, \pm 10, \pm 50, \pm 20, \pm 25$

$q = \pm 1$

ステップ 7.3.13.6.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 500, \pm 2, \pm 250, \pm 4, \pm 125, \pm 5, \pm 100, \pm 10, \pm 50, \pm 20, \pm 25$

ステップ 7.3.13.6.3

$10$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $10$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.13.6.3.1

$10$ を多項式に代入します。

$10^{3} - 20 \cdot 10^{2} + 150 \cdot 10 - 500$

ステップ 7.3.13.6.3.2

$10$ を $3$ 乗します。

$1000 - 20 \cdot 10^{2} + 150 \cdot 10 - 500$

ステップ 7.3.13.6.3.3

$10$ を $2$ 乗します。

$1000 - 20 \cdot 100 + 150 \cdot 10 - 500$

ステップ 7.3.13.6.3.4

$- 20$ に $100$ をかけます。

$1000 - 2000 + 150 \cdot 10 - 500$

ステップ 7.3.13.6.3.5

$1000$ から $2000$ を引きます。

$- 1000 + 150 \cdot 10 - 500$

ステップ 7.3.13.6.3.6

$150$ に $10$ をかけます。

$- 1000 + 1500 - 500$

ステップ 7.3.13.6.3.7

$- 1000$ と $1500$ をたし算します。

$500 - 500$

ステップ 7.3.13.6.3.8

$500$ から $500$ を引きます。

$0$

ステップ 7.3.13.6.4

$10$ は既知の根なので、多項式を $x - 10$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500}{x - 10}$

ステップ 7.3.13.6.5

$x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500$ を $x - 10$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.13.6.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$10$

$x^{3}$

$20 x^{2}$

$150 x$

$500$

ステップ 7.3.13.6.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$

ステップ 7.3.13.6.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			+	$x^{3}$	-	$10 x^{2}$

ステップ 7.3.13.6.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 10 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$

ステップ 7.3.13.6.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

ステップ 7.3.13.6.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$

ステップ 7.3.13.6.5.7

被除数 $- 10 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$

ステップ 7.3.13.6.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$100 x$

ステップ 7.3.13.6.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 10 x^{2} + 100 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$

ステップ 7.3.13.6.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$

ステップ 7.3.13.6.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$

ステップ 7.3.13.6.5.12

被除数 $50 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$

ステップ 7.3.13.6.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$
							+	$50 x$	-	$500$

ステップ 7.3.13.6.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $50 x - 500$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$
							-	$50 x$	+	$500$

ステップ 7.3.13.6.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$
							-	$50 x$	+	$500$
										$0$

ステップ 7.3.13.6.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 10 x + 50$

ステップ 7.3.13.6.6

$x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500$ を因数の集合として書き換えます。

$y = \frac{x ((x - 10) (x^{2} - 10 x + 50))}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

ステップ 7.3.14

$\frac{C}{x - 5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 7.3.15

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4 (x - 5)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.15.1

$\frac{C}{x - 5}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4}$

ステップ 7.3.15.2

$(x - 5) \cdot 4$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.16

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.17.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 10) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{(x^{2} + x \cdot - 10) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.3

$- 10$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{(x^{2} - 10 \cdot x) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.4

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{2} - 10 x) (x^{2} - 10 x + 50)$ を展開します。

$y = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.17.5.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.17.5.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x^{2 + 2} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.5.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{x^{4} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{2} x + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.5.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.17.5.3.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{x^{4} - 10 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.5.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.17.5.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{4} - 10 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.5.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.5.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.5.4

$50$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 \cdot x^{2} - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.5.5

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.17.5.5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 (x^{2} x) - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.5.5.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.17.5.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 (x^{2} x^{1}) - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.5.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{2 + 1} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.5.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.5.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 \cdot - 10 x \cdot x - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.5.7

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.17.5.7.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 \cdot - 10 (x \cdot x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.5.7.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 \cdot - 10 x^{2} - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.5.8

$- 10$ に $- 10$ をかけます。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} + 100 x^{2} - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.5.9

$50$ に $- 10$ をかけます。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} + 100 x^{2} - 500 x + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.6

$- 10 x^{3}$ から $10 x^{3}$ を引きます。

$y = \frac{x^{4} - 20 x^{3} + 50 x^{2} + 100 x^{2} - 500 x + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.7

$50 x^{2}$ と $100 x^{2}$ をたし算します。

$y = \frac{x^{4} - 20 x^{3} + 150 x^{2} - 500 x + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

ステップ 7.3.17.8

$4$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{x^{4} - 20 x^{3} + 150 x^{2} - 500 x + 4 C}{4 (x - 5)}$

微分積分 例

微分積分例