微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 y + x^{2} + 5$

ステップ 1

方程式の両辺から $2 y$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - 2 y = x^{2} + 5$

ステップ 2

$P (x) = - 2$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - 2 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{- 2 x + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 2 x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{- 2 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $e^{- 2 x}$ を掛けます。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} \cdot 5$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} \cdot 5$

ステップ 3.3

$5$ を $e^{- 2 x}$ の左に移動させます。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x^{2} + 5 e^{- 2 x}$

ステップ 3.4

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x^{2} + 5 e^{- 2 x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = x^{2} e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = x^{2} e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int x^{2} e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{- 2 x} y = \int x^{2} e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{- 2 x} y = \int x^{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.2

$u = x^{2}$ と $d v = e^{- 2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{- 2 x} y = x^{2} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$e^{- 2 x}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = x^{2} (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.3.2

$x^{2}$ と $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.4

$- \frac{1}{2} \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{2} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.5.2

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.5.3

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.5.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.5.3.2.2

共通因数を約分します。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.5.3.2.3

式を書き換えます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 1}{1} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.5.3.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - - \int e^{- 2 x} (x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.5.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + 1 \int e^{- 2 x} (x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.5.5

$\int e^{- 2 x} (x) d x$ に $1$ をかけます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + \int e^{- 2 x} (x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.6

$u = x$ と $d v = e^{- 2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.1

$e^{- 2 x}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.7.2

$x$ と $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.8

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.9.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.10

$u_{1} = - 2 x$ とします。次に $d u_{1} = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.10.1

$u_{1} = - 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.10.1.1

$- 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 7.10.1.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 7.10.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 7.10.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.11.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.11.2

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.12

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.13

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.14.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.14.2

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.15

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.16

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{- 2 x} d x$

ステップ 7.17

$u_{2} = - 2 x$ とします。次に $d u_{2} = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.17.1

$u_{2} = - 2 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.17.1.1

$- 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 7.17.1.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.17.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 7.17.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 7.17.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 7.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.18.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 7.18.2

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 7.19

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

ステップ 7.20

$- 1$ に $5$ をかけます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 5 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 7.21

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 5 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 7.22

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.22.1

$\frac{1}{2}$ と $- 5$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 5}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 7.22.2

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - \frac{5}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 7.23

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - \frac{5}{2} (e^{u_{2}} + C)$

ステップ 7.24

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.24.1

簡約します。

$e^{- 2 x} y = - \frac{1}{2} x^{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.24.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.24.2.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2}}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.24.2.2

$e^{- 2 x}$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.24.2.3

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.24.2.4

$e^{- 2 x}$ と $\frac{x}{2}$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.25

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.25.1

$u_{1}$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.25.2

$u_{2}$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

ステップ 7.26

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.26.1

$e^{- 2 x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

ステップ 7.26.2

$e^{- 2 x}$ と $\frac{5}{2}$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$

ステップ 7.27

項を並べ替えます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$e^{- 2 x}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x}}{2} x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

ステップ 8.1.2

$x^{2}$ と $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

ステップ 8.1.3

$e^{- 2 x}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

ステップ 8.1.4

$x$ と $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

ステップ 8.1.5

$e^{- 2 x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

ステップ 8.1.6

$e^{- 2 x}$ と $\frac{5}{2}$ をまとめます。

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$

ステップ 8.2

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$ の各項を $e^{- 2 x}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$ の各項を $e^{- 2 x}$ で割ります。

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$e^{- 2 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 8.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.2

$5$ を $e^{- 2 x}$ の左に移動させます。

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.3

$- \frac{5 e^{- 2 x}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.4.1

$\frac{5 e^{- 2 x}}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.5.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- e^{- 2 x} - 5 e^{- 2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.5.2.1.1

$e^{- 2 x}$ を $- e^{- 2 x} - 5 e^{- 2 x} \cdot 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.5.2.1.1.1

$e^{- 2 x}$ を $- e^{- 2 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 1 - 5 e^{- 2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.5.2.1.1.2

$e^{- 2 x}$ を $- 5 e^{- 2 x} \cdot 2$ で因数分解します。

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 1 + e^{- 2 x} (- 5 \cdot 2)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.5.2.1.1.3

$e^{- 2 x}$ を $e^{- 2 x} \cdot - 1 + e^{- 2 x} (- 5 \cdot 2)$ で因数分解します。

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 1 - 5 \cdot 2)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.5.2.1.2

$- 5$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 1 - 10)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.5.2.1.3

$- 1$ から $10$ を引きます。

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 11}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.5.2.2

$- 11$ を $e^{- 2 x}$ の左に移動させます。

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 11 \cdot e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.5.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.6.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{- x^{2} e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.2

$x e^{- 2 x}$ を $- x^{2} e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.6.2.1

$x e^{- 2 x}$ を $- x^{2} e^{- 2 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x) - x e^{- 2 x}}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.2.2

$x e^{- 2 x}$ を $- x e^{- 2 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x) + x e^{- 2 x} (- 1)}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.2.3

$x e^{- 2 x}$ を $x e^{- 2 x} (- x) + x e^{- 2 x} (- 1)$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1)}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.3

$\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1)}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1)}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.6.4.1

$\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1)}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1) \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1) \cdot 2}{4} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.5

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.6.6.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\frac{(x e^{- 2 x} (- x) + x e^{- 2 x} \cdot - 1) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.6.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{\frac{(- x e^{- 2 x} x + x e^{- 2 x} \cdot - 1) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.6.3

$- 1$ を $x e^{- 2 x}$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{(- x e^{- 2 x} x - 1 \cdot (x e^{- 2 x})) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.6.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.6.6.4.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.6.6.4.1.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{\frac{(- (x \cdot x) e^{- 2 x} - 1 \cdot (x e^{- 2 x})) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.6.4.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{\frac{(- x^{2} e^{- 2 x} - 1 \cdot (x e^{- 2 x})) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.6.4.2

$- 1 (x e^{- 2 x})$ を $- (x e^{- 2 x})$ に書き換えます。

$y = \frac{\frac{(- x^{2} e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.6.5

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\frac{- x^{2} e^{- 2 x} \cdot 2 - x e^{- 2 x} \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.6.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{\frac{- 2 x^{2} e^{- 2 x} - x e^{- 2 x} \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.6.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{\frac{- 2 x^{2} e^{- 2 x} - 2 x e^{- 2 x} - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.6.8

$e^{- 2 x}$ を $- 2 x^{2} e^{- 2 x} - 2 x e^{- 2 x} - 11 e^{- 2 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.6.6.8.1

$e^{- 2 x}$ を $- 2 x^{2} e^{- 2 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) - 2 x e^{- 2 x} - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.6.8.2

$e^{- 2 x}$ を $- 2 x e^{- 2 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) + e^{- 2 x} (- 2 x) - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.6.8.3

$e^{- 2 x}$ を $- 11 e^{- 2 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) + e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.6.8.4

$e^{- 2 x}$ を $e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) + e^{- 2 x} (- 2 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.6.8.5

$e^{- 2 x}$ を $e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x - 11)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.7

$C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x - 11)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.8

$C$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x - 11)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.9

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x - 11) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.6.10.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) + e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.10.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.6.10.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.10.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot - 11 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.10.2.3

$- 11$ を $e^{- 2 x}$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 \cdot e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.6.10.3

$4$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.8

$\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ に $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ をかけます。

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.9

$- 1$ を $- 2 e^{- 2 x} x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2}) - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.10

$- 1$ を $- 2 e^{- 2 x} x$ で因数分解します。

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2}) - (2 e^{- 2 x} x) - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.11

$- 1$ を $- (2 e^{- 2 x} x^{2}) - (2 e^{- 2 x} x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x) - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.12

$- 1$ を $- 11 e^{- 2 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x) - (11 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.13

$- 1$ を $- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x) - (11 e^{- 2 x})$ で因数分解します。

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.14

$- 1$ を $4 C$ で因数分解します。

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x}) - (- 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.15

$- 1$ を $- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x}) - (- 4 C)$ で因数分解します。

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.16

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.16.1

$- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)$ を $- 1 (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.16.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

ステップ 8.2.3.16.3

$- \frac{2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ の因数を並べ替えます。

$y = - \frac{2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x} + 11 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

微分積分 例

微分積分例