微分積分例

$\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ の各項を $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ の各項を $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ で割ります。

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - 4 x^{2}}}$

ステップ 1.1.3.1.2

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}}$

ステップ 1.1.3.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = 2 x$ です。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}}$

ステップ 1.1.3.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

ステップ 1.1.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

ステップ 1.1.3.3.2

$\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

ステップ 1.1.3.3.3

$\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}}$

ステップ 1.1.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.1.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.6

${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ を $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ を ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.1.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.1.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.1.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}}$

ステップ 1.1.3.3.6.5

簡約します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ とします。次に $d u = - 8 x d x$ すると、 $- \frac{1}{8} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [(1 + 2 x) (1 - 2 x)]$

ステップ 2.3.1.1.2

$f (x) = 1 + 2 x$ および $g (x) = 1 - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

ステップ 2.3.1.1.3

微分します。

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ステップ 2.3.1.1.3.1

総和則では、 $1 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

ステップ 2.3.1.1.3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

ステップ 2.3.1.1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ をたし算します。

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

ステップ 2.3.1.1.3.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(1 + 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

ステップ 2.3.1.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + 2 x) (- 2 \cdot 1) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

ステップ 2.3.1.1.3.6

式を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1.3.6.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$(1 + 2 x) \cdot - 2 + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

ステップ 2.3.1.1.3.6.2

$- 2$ を $1 + 2 x$ の左に移動させます。

$- 2 \cdot (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

ステップ 2.3.1.1.3.7

総和則では、 $1 + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.3.1.1.3.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.3.1.1.3.9

$0$ と $\frac{d}{d x} [2 x]$ をたし算します。

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.3.1.1.3.10

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.1.1.3.11

$2$ を $1 - 2 x$ の左に移動させます。

$- 2 (1 + 2 x) + 2 \cdot (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.1.1.3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x) \cdot 1$

ステップ 2.3.1.1.3.13

$2$ に $1$ をかけます。

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x)$

ステップ 2.3.1.1.4

簡約します。

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ステップ 2.3.1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 (1 - 2 x)$

ステップ 2.3.1.1.4.2

分配則を当てはめます。

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

ステップ 2.3.1.1.4.3

項をまとめます。

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ステップ 2.3.1.1.4.3.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

ステップ 2.3.1.1.4.3.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 2 - 4 x + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

ステップ 2.3.1.1.4.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$- 2 - 4 x + 2 + 2 (- 2 x)$

ステップ 2.3.1.1.4.3.4

$- 2$ に $2$ をかけます。

$- 2 - 4 x + 2 - 4 x$

ステップ 2.3.1.1.4.3.5

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$- 4 x + 0 - 4 x$

ステップ 2.3.1.1.4.3.6

$- 4 x$ と $0$ をたし算します。

$- 4 x - 4 x$

ステップ 2.3.1.1.4.3.7

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$- 8 x$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

ステップ 2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{8}) d u$

ステップ 2.3.2.2

$\frac{\sqrt{u}}{u}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 8} d u$

ステップ 2.3.2.3

$8$ を $u$ の左に移動させます。

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{8}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

ステップ 2.3.5

式を簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

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ステップ 2.3.5.2.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $u^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.5.2.2

指数を足して $u$ に $u^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.2.1

$u$ に $u^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.2.1.1

$u$ を $1$ 乗します。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.5.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.5.3.1

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3.5.3.2

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.5.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.5.3.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 2.3.5.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ を $- \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{8}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2

$- 2$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{- 2}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.3

$- 2$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.3.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.3.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{- 1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ で置き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + K$

微分積分 例

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