微分積分例

$(1 + y^{2}) d x = x d y$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$x d y = (1 + y^{2}) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x (1 + y^{2})}$ を掛けます。

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} x d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} x d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

ステップ 3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

ステップ 3.2

$1 + y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$1 + y^{2}$ を $x (1 + y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) x} (1 + y^{2}) d x$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) x} (1 + y^{2}) d x$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\arctan (y) + C_{1}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\arctan (y) = \ln (| x |) + C$

ステップ 5

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (\ln (| x |) + C)$

微分積分 例

微分積分例