微分積分例

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 3 x$

ステップ 1

$P (x) = - 2 x$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int - 2 x d x}$

ステップ 1.2

$- 2 x$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 2 \int x d x}$

ステップ 1.2.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$e^{- x^{2} + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{- x^{2}}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{- x^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項に $e^{- x^{2}}$ を掛けます。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} (3 x)$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} (3 x)$

ステップ 2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{- x^{2}} x$

ステップ 2.4

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{- x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 3 x e^{- x^{2}}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 3 x e^{- x^{2}}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 3 x e^{- x^{2}} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{- x^{2}} y = \int 3 x e^{- x^{2}} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x^{2}} y = 3 \int x e^{- x^{2}} d x$

ステップ 6.2

$u_{2} = e^{- x^{2}}$ とします。次に $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$u_{2} = e^{- x^{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$e^{- x^{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

ステップ 6.2.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 6.2.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 6.2.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x^{2}$ で置き換えます。

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 6.2.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 6.2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

ステップ 6.2.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

ステップ 6.2.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.4.1

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$ の因数を並べ替えます。

$- 2 e^{- x^{2}} x$

ステップ 6.2.1.4.2

$- 2 e^{- x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$- 2 x e^{- x^{2}}$

ステップ 6.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- x^{2}} y = 3 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 6.3

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- x^{2}} y = 3 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 6.4

定数の法則を当てはめます。

$e^{- x^{2}} y = 3 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

ステップ 6.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

簡約します。

$e^{- x^{2}} y = 3 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

ステップ 6.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

$u_{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} y = 3 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

ステップ 6.5.2.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$e^{- x^{2}} y = - 3 \frac{u_{2}}{2} + C$

ステップ 6.5.2.3

$- 3$ と $\frac{u_{2}}{2}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} y = \frac{- 3 u_{2}}{2} + C$

ステップ 6.5.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- x^{2}} y = - \frac{3 u_{2}}{2} + C$

ステップ 6.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{- x^{2}}$ で置き換えます。

$e^{- x^{2}} y = - \frac{3 e^{- x^{2}}}{2} + C$

ステップ 6.5.4

項を並べ替えます。

$e^{- x^{2}} y = - \frac{3}{2} e^{- x^{2}} + C$

ステップ 7

$e^{- x^{2}} y = - \frac{3}{2} e^{- x^{2}} + C$ の各項を $e^{- x^{2}}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$e^{- x^{2}} y = - \frac{3}{2} e^{- x^{2}} + C$ の各項を $e^{- x^{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{- \frac{3}{2} e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$e^{- x^{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{- \frac{3}{2} e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \frac{3}{2} e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$e^{- x^{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{- \frac{3}{2} e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

ステップ 7.3.1.2

$- \frac{3}{2}$ を $1$ で割ります。

$y = - \frac{3}{2} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

微分積分 例

微分積分例