微分積分例

$2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$ の各項を $2 x^{3}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$ の各項を $2 x^{3}$ で割ります。

$\frac{2 x^{3} \frac{d y}{d x}}{2 x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{3} \frac{d y}{d x}}{2 x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

ステップ 1.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

ステップ 1.1.2.2

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

ステップ 1.1.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

ステップ 1.2

$\frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$ から $\frac{y}{x}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{y}{x}$ を $\frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$

ステップ 1.2.2

$\frac{y}{x}$ と $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{x}$

ステップ 1.3

$\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ を分解し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分数 $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 x^{2}}) \frac{y}{x}$

ステップ 1.3.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 x^{2}}) \frac{y}{x}$

ステップ 1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

ステップ 1.4

$\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ から $\frac{y}{x}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$\frac{y}{x}$ を $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{x} \cdot \frac{y}{2 x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

ステップ 1.4.2

$\frac{y}{x}$ と $\frac{y}{2 x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

ステップ 1.5

$\frac{y}{2 x}$ から $\frac{y}{x}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$\frac{y}{x}$ を $\frac{y}{2 x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

ステップ 1.5.2

$\frac{y}{x}$ と $\frac{1}{2}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = (\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = (\frac{1}{2} V \cdot V + \frac{3}{2}) V$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} V \cdot V + \frac{3}{2}) V$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

$(\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1

書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = 0 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$

ステップ 6.1.1.1.2

0を加えて簡約します。

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$

ステップ 6.1.1.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.3.1

$V$ に $V$ をかけます。

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} \cdot V^{2} + \frac{3}{2}) V$

ステップ 6.1.1.1.3.2

$\frac{1}{2}$ と $V^{2}$ をまとめます。

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{V^{2}}{2} + \frac{3}{2}) V$

ステップ 6.1.1.1.4

分配則を当てはめます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2}}{2} V + \frac{3}{2} V$

ステップ 6.1.1.1.5

$\frac{V^{2}}{2} V$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.5.1

$\frac{V^{2}}{2}$ と $V$ をまとめます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} V}{2} + \frac{3}{2} V$

ステップ 6.1.1.1.5.2

指数を足して $V^{2}$ に $V$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.5.2.1

$V^{2}$ に $V$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.5.2.1.1

$V$ を $1$ 乗します。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} V^{1}}{2} + \frac{3}{2} V$

ステップ 6.1.1.1.5.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2 + 1}}{2} + \frac{3}{2} V$

ステップ 6.1.1.1.5.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3}{2} V$

ステップ 6.1.1.1.6

$\frac{3}{2}$ と $V$ をまとめます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2}$

ステップ 6.1.1.2

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$

ステップ 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2

$- V$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3

$- V$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V - V \cdot 2}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + 3 V - V \cdot 2}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + 3 V - 2 V}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.7

$3 V$ から $2 V$ を引きます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + V}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.8

$V$ を $V^{3} + V$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.8.1

$V$ を $V^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.8.2

$V$ を $1$ 乗します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V^{1}}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.8.3

$V$ を $V^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V \cdot 1}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.8.4

$V$ を $V \cdot V^{2} + V \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V^{2} + 1)}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.9

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1)}{2} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.10

まとめる。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1) \cdot 1}{2 x}$

ステップ 6.1.1.3.3.11

$V$ に $1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1)}{2 x}$

ステップ 6.1.2

両辺に $\frac{1}{V (V^{2} + 1)}$ を掛けます。

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V^{2} + 1)} \cdot \frac{V (V^{2} + 1)}{2 x}$

ステップ 6.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

まとめる。

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1) (2 x)}$

ステップ 6.1.3.2

$V$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1) (2 x)}$

ステップ 6.1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V^{2} + 1)}{(V^{2} + 1) (2 x)}$

ステップ 6.1.3.3

$V^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V^{2} + 1)}{(V^{2} + 1) (2 x)}$

ステップ 6.1.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x}$

ステップ 6.1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} d V = \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{V (V^{2} + 1)} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{V} + \frac{B V + C}{V^{2} + 1}$

ステップ 6.2.2.1.1.2

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $V (V^{2} + 1)$ です。

$\frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1)} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

ステップ 6.2.2.1.1.3

$V$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1)} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

ステップ 6.2.2.1.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (V^{2} + 1)}{V^{2} + 1} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

ステップ 6.2.2.1.1.4

$V^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (V^{2} + 1)}{V^{2} + 1} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

ステップ 6.2.2.1.1.4.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

ステップ 6.2.2.1.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.5.1

$V$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.5.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

ステップ 6.2.2.1.1.5.1.2

$A (V^{2} + 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = A (V^{2} + 1) + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

ステップ 6.2.2.1.1.5.2

分配則を当てはめます。

$1 = A V^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

ステップ 6.2.2.1.1.5.3

$A$ に $1$ をかけます。

$1 = A V^{2} + A + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

ステップ 6.2.2.1.1.5.4

$V^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$1 = A V^{2} + A + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

ステップ 6.2.2.1.1.5.4.2

$(B V + C) (V)$ を $1$ で割ります。

$1 = A V^{2} + A + (B V + C) (V)$

ステップ 6.2.2.1.1.5.5

分配則を当てはめます。

$1 = A V^{2} + A + B V \cdot V + C V$

ステップ 6.2.2.1.1.5.6

指数を足して $V$ に $V$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.5.6.1

$V$ を移動させます。

$1 = A V^{2} + A + B (V \cdot V) + C V$

ステップ 6.2.2.1.1.5.6.2

$V$ に $V$ をかけます。

$1 = A V^{2} + A + B V^{2} + C V$

ステップ 6.2.2.1.1.6

$A$ を移動させます。

$1 = A V^{2} + B V^{2} + C V + A$

ステップ 6.2.2.1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.2.1

式の両辺から $V^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 6.2.2.1.2.2

式の両辺から $V$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = C$

ステップ 6.2.2.1.2.3

式の両辺から $V$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A$

ステップ 6.2.2.1.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

ステップ 6.2.2.1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.3.1

方程式を $C = 0$ として書き換えます。

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

ステップ 6.2.2.1.3.2

方程式を $A = 1$ として書き換えます。

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

ステップ 6.2.2.1.3.3

各方程式の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.3.3.1

$0 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

ステップ 6.2.2.1.3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.3.3.2.1

括弧を削除します。

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

ステップ 6.2.2.1.3.4

$0 = 1 + B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.3.4.1

方程式を $1 + B = 0$ として書き換えます。

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

ステップ 6.2.2.1.3.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

ステップ 6.2.2.1.3.5

連立方程式を解きます。

$B = - 1 A = 1 C = 0$

ステップ 6.2.2.1.3.6

すべての解をまとめます。

$B = - 1, A = 1, C = 0$

ステップ 6.2.2.1.4

$\frac{A}{V} + \frac{B V + C}{V^{2} + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{V} + \frac{- 1 V + 0}{V^{2} + 1}$

ステップ 6.2.2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.5.1

括弧を削除します。

$\frac{1}{V} + \frac{(- 1) \cdot V + 0}{V^{2} + 1}$

ステップ 6.2.2.1.5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.5.2.1

$- 1 V$ を $- V$ に書き換えます。

$\frac{1}{V} + \frac{- V + 0}{V^{2} + 1}$

ステップ 6.2.2.1.5.2.2

$- V$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{V} + \frac{- V}{V^{2} + 1}$

ステップ 6.2.2.1.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{1}{V} - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{V} d V + \int - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.3

$\frac{1}{V}$ の $V$ に関する積分は $\ln (| V |)$ です。

$\ln (| V |) + C_{1} + \int - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.4

$- 1$ は $V$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.5

$u = V^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 V d V$ すると、 $\frac{1}{2} d u = V d V$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.5.1

$u = V^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d V}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.5.1.1

$V^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 1]$

ステップ 6.2.2.5.1.2

総和則では、 $V^{2} + 1$ の $V$ に関する積分は $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ です。

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

ステップ 6.2.2.5.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ は $n V^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 V + \frac{d}{d V} [1]$

ステップ 6.2.2.5.1.4

$1$ は $V$ について定数なので、 $V$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 V + 0$

ステップ 6.2.2.5.1.5

$2 V$ と $0$ をたし算します。

$2 V$

ステップ 6.2.2.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.6.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.6.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| V |) + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| V |) + C_{1} - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.9

簡約します。

$\ln (| V |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.10

$u$ のすべての発生を $V^{2} + 1$ で置き換えます。

$\ln (| V |) - \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.11

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{4})$

ステップ 6.2.3.3

簡約します。

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$- \frac{1}{2} \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

ステップ 8

$y$ について $- \frac{1}{2} \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

方程式の式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.1

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

ステップ 8.1.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.2.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| x |)$ をまとめます。

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$

ステップ 8.2

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$ の各項に $2$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$ の各項に $2$ を掛けます。

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 8.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.1.1

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 8.2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 8.2.2.1.1.3

式を書き換えます。

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 8.2.2.1.2

$2$ を $\ln (| \frac{y}{x} |)$ の左に移動させます。

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 8.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 8.2.3.1.1.2

式を書き換えます。

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C \cdot 2$

ステップ 8.2.3.1.2

$2$ を $C$ の左に移動させます。

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + 2 C$

ステップ 8.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 2 C$

ステップ 8.4

積の法則を $\frac{y}{x}$ に当てはめます。

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 2 C$

ステップ 8.5

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| \frac{y}{x} |)$ を簡約します。

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln ({| \frac{y}{x} |}^{2}) - \ln (| x |) = 2 C$

ステップ 8.5.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| \frac{y}{x} |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln ({(\frac{y}{x})}^{2}) - \ln (| x |) = 2 C$

ステップ 8.5.1.1.3

積の法則を $\frac{y}{x}$ に当てはめます。

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2}}) - \ln (| x |) = 2 C$

ステップ 8.5.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{\frac{y^{2}}{x^{2}}}{| x |}) = 2 C$

ステップ 8.5.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{| x |}) = 2 C$

ステップ 8.5.1.3.2

まとめる。

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2} \cdot 1}{x^{2} | x |}) = 2 C$

ステップ 8.5.1.3.3

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = 2 C$

ステップ 8.6

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})} = e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)}$

ステップ 8.7

対数の定義を利用して $\ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = 2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)} = \frac{y^{2}}{x^{2} | x |}$

ステップ 8.8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.8.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)}) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

ステップ 8.8.2

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.8.2.1

$2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)})$ を展開します。

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

ステップ 8.8.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

ステップ 8.8.2.3

$2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ に $1$ をかけます。

$2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

ステップ 8.8.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) - \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = - 2 C$

ステップ 8.8.4

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |}{\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}}) = - 2 C$

ステップ 8.8.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | (\frac{x^{2} | x |}{y^{2}})) = - 2 C$

ステップ 8.8.6

$| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | \frac{x^{2} | x |}{y^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.8.6.1

$| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |$ と $\frac{x^{2} | x |}{y^{2}}$ をまとめます。

$\ln (\frac{| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | (x^{2} | x |)}{y^{2}}) = - 2 C$

ステップ 8.8.6.2

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (\frac{x^{2} | (\frac{y^{2}}{x^{2}} + 1) x |}{y^{2}}) = - 2 C$

ステップ 8.8.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.8.7.1

分配則を当てはめます。

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

ステップ 8.8.7.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.8.7.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

ステップ 8.8.7.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

ステップ 8.8.7.2.3

式を書き換えます。

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x} + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

ステップ 8.8.7.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x} + x |}{y^{2}}) = - 2 C$

ステップ 8.8.8

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.8.8.1

$2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)})$ を展開します。

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

ステップ 8.8.8.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

ステップ 8.8.8.3

$2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ に $1$ をかけます。

$2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

微分積分 例

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