微分積分例

$\frac{d s}{d t} = 5 \sqrt{s}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\sqrt{s}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{\sqrt{s}} (5 \sqrt{s})$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{1}{\sqrt{s}} \sqrt{s}$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{\sqrt{s}}$ に $\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{s}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 (\frac{1}{\sqrt{s}} \cdot \frac{\sqrt{s}}{\sqrt{s}}) \sqrt{s}$

ステップ 1.2.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$\frac{1}{\sqrt{s}}$ に $\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{s}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{\sqrt{s} \sqrt{s}} \sqrt{s}$

ステップ 1.2.3.2

$\sqrt{s}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{{\sqrt{s}}^{1} \sqrt{s}} \sqrt{s}$

ステップ 1.2.3.3

$\sqrt{s}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{{\sqrt{s}}^{1} {\sqrt{s}}^{1}} \sqrt{s}$

ステップ 1.2.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{{\sqrt{s}}^{1 + 1}} \sqrt{s}$

ステップ 1.2.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{{\sqrt{s}}^{2}} \sqrt{s}$

ステップ 1.2.3.6

${\sqrt{s}}^{2}$ を $s$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{s}$ を $s^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{{(s^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{s}$

ステップ 1.2.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{s^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{s}$

ステップ 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{s^{\frac{2}{2}}} \sqrt{s}$

ステップ 1.2.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{s^{\frac{2}{2}}} \sqrt{s}$

ステップ 1.2.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{s^{1}} \sqrt{s}$

ステップ 1.2.3.6.5

簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5 \frac{\sqrt{s}}{s} \sqrt{s}$

ステップ 1.2.4

$5$ と $\frac{\sqrt{s}}{s}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 \sqrt{s}}{s} \sqrt{s}$

ステップ 1.2.5

$\frac{5 \sqrt{s}}{s} \sqrt{s}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$\frac{5 \sqrt{s}}{s}$ と $\sqrt{s}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 \sqrt{s} \sqrt{s}}{s}$

ステップ 1.2.5.2

$\sqrt{s}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 ({\sqrt{s}}^{1} \sqrt{s})}{s}$

ステップ 1.2.5.3

$\sqrt{s}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 ({\sqrt{s}}^{1} {\sqrt{s}}^{1})}{s}$

ステップ 1.2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 {\sqrt{s}}^{1 + 1}}{s}$

ステップ 1.2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 {\sqrt{s}}^{2}}{s}$

ステップ 1.2.6

${\sqrt{s}}^{2}$ を $s$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{s}$ を $s^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 {(s^{\frac{1}{2}})}^{2}}{s}$

ステップ 1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 s^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{s}$

ステップ 1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 s^{\frac{2}{2}}}{s}$

ステップ 1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 s^{\frac{2}{2}}}{s}$

ステップ 1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 s^{1}}{s}$

ステップ 1.2.6.5

簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 s}{s}$

ステップ 1.2.7

$s$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = \frac{5 s}{s}$

ステップ 1.2.7.2

$5$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{d s}{d t} = 5$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{s}} d s = 5 d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{s}} d s = \int 5 d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{s}$ を $s^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{s^{\frac{1}{2}}} d s = \int 5 d t$

ステップ 2.2.1.2

$s^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(s^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d s = \int 5 d t$

ステップ 2.2.1.3

${(s^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int s^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d s = \int 5 d t$

ステップ 2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int s^{\frac{- 1}{2}} d s = \int 5 d t$

ステップ 2.2.1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int s^{- \frac{1}{2}} d s = \int 5 d t$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $s^{- \frac{1}{2}}$ の $s$ に関する積分は $2 s^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 s^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 5 d t$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$2 s^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 5 t + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$2 s^{\frac{1}{2}} = 5 t + K$

ステップ 3

$s$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 s^{\frac{1}{2}} = 5 t + K$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$2 s^{\frac{1}{2}} = 5 t + K$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 s^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 s^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.2.2

$s^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$s^{\frac{1}{2}} = \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.2

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(s^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

${(s^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

${(s^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$s^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$s^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$s^{1} = {(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.2

簡約します。

$s = {(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

${(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ を $(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})$ に書き換えます。

$s = (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})$

ステップ 3.3.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$s = \frac{5 t}{2} (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})$

ステップ 3.3.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$s = \frac{5 t}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{5 t}{2} + \frac{K}{2})$

ステップ 3.3.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$s = \frac{5 t}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.1

$\frac{5 t}{2} \cdot \frac{5 t}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.1.1

$\frac{5 t}{2}$ に $\frac{5 t}{2}$ をかけます。

$s = \frac{5 t (5 t)}{2 \cdot 2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.1.2

$5$ に $5$ をかけます。

$s = \frac{25 t \cdot t}{2 \cdot 2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.1.3

$t$ を $1$ 乗します。

$s = \frac{25 (t^{1} t)}{2 \cdot 2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.1.4

$t$ を $1$ 乗します。

$s = \frac{25 (t^{1} t^{1})}{2 \cdot 2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$s = \frac{25 t^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$s = \frac{25 t^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.1.7

$2$ に $2$ をかけます。

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.2

$\frac{5 t}{2} \cdot \frac{K}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.2.1

$\frac{5 t}{2}$ に $\frac{K}{2}$ をかけます。

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.3

$\frac{K}{2} \cdot \frac{5 t}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.3.1

$\frac{K}{2}$ に $\frac{5 t}{2}$ をかけます。

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{K (5 t)}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{K (5 t)}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.4

$5$ を $K$ の左に移動させます。

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 \cdot K t}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.5

$\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.5.1

$\frac{K}{2}$ に $\frac{K}{2}$ をかけます。

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.5.2

$K$ を $1$ 乗します。

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.5.3

$K$ を $1$ 乗します。

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.5.6

$2$ に $2$ をかけます。

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 t K}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.3.2

$\frac{5 t K}{4}$ と $\frac{5 K t}{4}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.2.1

$t$ を移動させます。

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.3.2.2

$\frac{5 K t}{4}$ と $\frac{5 K t}{4}$ をたし算します。

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + 2 \frac{5 K t}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + 2 \frac{5 K t}{2 (2)} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + 2 \frac{5 K t}{2 \cdot 2} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.4.3

式を書き換えます。

$s = \frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 K t}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.4

$\frac{25 t^{2}}{4} + \frac{5 K t}{2} + \frac{K^{2}}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\frac{25 t^{2}}{4}$ を移動させます。

$s = \frac{5 K t}{2} + \frac{K^{2}}{4} + \frac{25 t^{2}}{4}$

ステップ 3.4.2

$\frac{5 K t}{2}$ と $\frac{K^{2}}{4}$ を並べ替えます。

$s = \frac{K^{2}}{4} + \frac{5 K t}{2} + \frac{25 t^{2}}{4}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$s = K + \frac{K t}{2} + \frac{25 t^{2}}{4}$

微分積分 例

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